Une similitude de rapport k > 0 est une transformation du plan telle que :
d(f(A), f(B)) = k · d(A, B) pour tous points A, B.
• k = 1 : isométrie (cas particulier)
• k ≠ 1 : similitude non isométrique (les distances sont multipliées par k)
Une similitude conserve les angles et envoie toute figure sur une figure semblable.
Toute similitude directe de rapport k et d'angle θ peut s'écrire comme la composée d'une homothétie H(Ω,k) et d'une rotation R(Ω,θ) de même centre Ω (centre de la similitude).
En coordonnées complexes : f(z) = az + b avec |a| = k (rapport) et arg(a) = θ (angle).
Deux figures sont semblables s'il existe une similitude envoyant l'une sur l'autre.
Deux triangles ABC et A'B'C' sont semblables si et seulement si l'une des conditions équivalentes est vérifiée :
• AAA : ils ont les mêmes angles (angle-angle-angle)
• CCC : leurs côtés sont proportionnels (A'B'/AB = B'C'/BC = C'A'/CA)
• CAC : deux côtés proportionnels et angle compris égal
Tout triangle rectangle isocèle est semblable à tout autre triangle rectangle isocèle (angles 45°-45°-90°).
Dans un triangle rectangle, la hauteur issue de l'angle droit crée deux triangles semblables au triangle initial.
• Tétraèdre : 4 faces triangulaires, 4 sommets, 6 arêtes. Régulier si toutes les faces sont des triangles équilatéraux identiques.
• Cube : 6 faces carrées, 8 sommets, 12 arêtes.
• Octaèdre : 8 faces triangulaires, 6 sommets, 12 arêtes.
• Prisme : 2 bases polygonales + faces latérales rectangulaires.
• Pyramide : 1 base polygonale + faces triangulaires convergentes en un apex.
Formule d'Euler : pour tout polyèdre convexe : S − A + F = 2 (S = sommets, A = arêtes, F = faces).
• Sécantes : un seul point commun (coplanaires).
• Parallèles : même direction, pas de point commun (coplanaires).
• Gauches : ni parallèles ni sécantes (non coplanaires).
Droite et plan :
• Droite ⊂ plan / parallèle au plan / sécante au plan / perpendiculaire au plan.
Deux plans :
• Confondus / parallèles / sécants selon une droite.
• Si une droite est parallèle à une droite du plan, elle est parallèle au plan (ou incluse dedans).
• Si deux plans sont parallèles, toute droite coupant l'un coupe l'autre.
• Théorème de la droite des plans : si deux plans sécants sont chacun sécants à un troisième, les trois droites d'intersection sont parallèles ou concourantes.
• Section d'un cube par un plan : triangle, rectangle, pentagone ou hexagone selon l'inclinaison.
• Section d'un cylindre par un plan : cercle (plan ⊥ à l'axe), ellipse (plan oblique), rectangle (plan contenant l'axe).
Dans un cube ABCDEFGH (ABCD base inférieure, EFGH base supérieure, AE, BF, CG, DH arêtes latérales) :
Cube ABCDEFGH de côté 1 (A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), E(0;0;1), F(1;0;1), G(1;1;1), H(0;1;1)).
Dans un triangle ABC rectangle en A, on a AB=3, AC=4, BC=5. On construit sur BC un triangle BCD semblable à ABC (angle en D=90°, angle B commun).
10 questions · Correction immédiate
Une similitude de rapport k conserve :
Deux triangles sont semblables si :
La formule d'Euler pour un polyèdre convexe est :
Un tétraèdre régulier a :
Deux droites de l'espace qui ne sont ni parallèles ni sécantes sont :
La similitude directe est composée de :
Deux triangles ABC et DEF avec A'B'/AB=B'C'/BC=C'A'/CA=2 sont :
Un prisme à base triangulaire a combien d'arêtes ?
La section d'un cylindre par un plan perpendiculaire à son axe est :
Les triangles semblables ont des aires dans le rapport :
