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1. Relations entre points et vecteurs

Conditions d'alignement et de cocyclicité

Alignement : A, B, C alignés ⟺ AB→ et AC→ sont colinéaires ⟺ det(AB→, AC→) = 0.

Cocyclicité : Quatre points A, B, C, D sont cocycliques (sur un même cercle) si et seulement si :

(AB→, AC→) ≡ (DB→, DC→) [mod π]

En pratique : les angles inscrits interceptant le même arc sont égaux (modulo π).

Coplanarité : A, B, C, D coplanaires ⟺ AD→ est une combinaison linéaire de AB→ et AC→.

2. Relations trigonométriques dans un triangle

Théorème des sinus

Dans tout triangle ABC, en notant a = BC, b = CA, c = AB et R le rayon du cercle circonscrit :

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Loi des cosinus (Al-Kashi)

a² = b² + c² − 2bc · cos A

b² = a² + c² − 2ac · cos B

c² = a² + b² − 2ab · cos C

Cas particulier : A = 90° → a² = b² + c² (Pythagore).

Formules d'addition trigonométriques (révision)

• A + B + C = π dans un triangle.

• sin(A+B) = sin(π−C) = sin C

• cos(A+B) = cos(π−C) = −cos C

Application du théorème des sinus

Triangle ABC, a=7, A=45°, B=60°. C=75°.

a/sin A = 7/sin45° = 7/(√2/2) = 7√2. b = 7√2·sin60° = 7√2·√3/2 = 7√6/2.

3. Angles orientés de vecteurs

Mesure algébrique d'un angle orienté

L'angle orienté (→u, →v) est la mesure algébrique de la rotation qui amène →u sur →v (modulo 2π).

• (→u, →v) = −(→v, →u)

• (→u, →v) + (→v, →w) = (→u, →w) (relation de Chasles angulaire)

• cos(→u, →v) = (→u·→v)/(||→u||·||→v||)

Calcul en coordonnées

Si →u = (a;b) et →v = (c;d), alors le sinus de l'angle orienté (→u,→v) vérifie :

||→u|| · ||→v|| · sin(→u,→v) = ad − bc (déterminant)

Et cos : ||→u|| · ||→v|| · cos(→u,→v) = ac + bd (produit scalaire)

4. Formules trigonométriques d'addition et de transformation

Rappel des formules clés pour les calculs vectoriels

• cos(A−B) = cos A cos B + sin A sin B

• Dans un triangle : formule de projection : a = b cos C + c cos B

• Formule de l'aire : Aire = (1/2) ab sin C = (1/2) bc sin A = (1/2) ac sin B

• Rayon du cercle inscrit : r = Aire / s où s = (a+b+c)/2 (demi-périmètre)

Exemple — Calcul d'un angle et d'une aire

Triangle ABC : a=5, b=7, c=8. cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) = (49+64−25)/112 = 88/112 = 11/14.

sin A = √(1−121/196) = √(75/196) = 5√3/14.

Aire = (1/2)×7×8×sin A = 28 × 5√3/14 = 10√3.

🧠 À retenir absolument

  • Théorème des sinus : a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
  • Al-Kashi : a² = b²+c²−2bc·cosA (généralise Pythagore)
  • Aire = (1/2)bc·sinA
  • Angle orienté (→u,→v) : cos = produit scalaire / (normes) ; sin = déterminant / (normes)
  • Cocyclicité : angles inscrits sur le même arc sont égaux (mod π)
1

Théorème des sinus

● Moyen
  1. Triangle ABC : A=50°, B=70°, a=10. Calculer b et c.
  2. Triangle DEF : d=8, e=6, D=80°. Calculer E et F puis f.
✅ Correction
  1. C=60°. 2R=a/sinA=10/sin50°≈10/0,766≈13,05. b=2R·sinB≈13,05×sin70°≈12,26. c=2R·sinC≈13,05×sin60°≈11,30.
  2. sinE=e·sinD/d=6×sin80°/8≈6×0,985/8≈0,738. E≈47,6°. F=180°−80°−47,6°≈52,4°. f=d·sinF/sinD≈8×sin52,4°/sin80°≈6,40.
2

Loi des cosinus (Al-Kashi)

● Moyen
  1. Triangle ABC : b=5, c=7, A=60°. Calculer a.
  2. Triangle DEF : d=4, e=6, f=8. Calculer cosD et l'angle D.
  3. Vérifier que c²=a²+b²−2ab·cosC avec a=3, b=4, c=5 et C=90°.
✅ Correction
  1. a²=25+49−2×5×7×(1/2)=74−35=39. a=√39≈6,24.
  2. cosD=(e²+f²−d²)/(2ef)=(36+64−16)/96=84/96=7/8. D=arccos(7/8)≈28,96°.
  3. a²+b²−2ab·cosC=9+16−24×0=25=5²=c² ✅.
3

Aire d'un triangle

● Moyen
  1. Triangle ABC : b=6, c=9, A=40°. Calculer l'aire.
  2. Triangle de côtés 5, 7, 10. Calculer l'angle le plus grand puis l'aire.
✅ Correction
  1. Aire=(1/2)×6×9×sin40°=27×0,643≈17,36.
  2. Angle opposé au côté 10 : cosC=(25+49−100)/70=−26/70=−13/35. C=arccos(−13/35)≈111,8°. sinC=√(1−169/1225)=√(1056/1225). Aire=(1/2)×5×7×sinC≈(35/2)×sin111,8°≈(35/2)×0,929≈16,26.
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Angles orientés de vecteurs

● Moyen

→u=(3;1) et →v=(1;3) dans un repère orthonormé.

  1. Calculer →u·→v et det(→u,→v)=ad−bc.
  2. En déduire cos et sin de l'angle orienté (→u,→v).
  3. Calculer cet angle.
✅ Correction
  1. →u·→v=3×1+1×3=6. det=3×3−1×1=8.
  2. ||→u||=||→v||=√10. cos=(6)/(10)=3/5. sin=(8)/(10)=4/5.
  3. cos θ=3/5 et sin θ=4/5>0 → θ=arccos(3/5)≈53,1° (premier quadrant).
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Problème — Topographie

● Difficile

Deux observateurs A et B distants de 500 m observent un point C. L'angle CAB=75° et l'angle CBA=60°.

  1. Calculer l'angle ACB.
  2. Calculer AC et BC par le théorème des sinus.
  3. Calculer l'aire du triangle ABC.
  4. Calculer la distance du point C à la droite AB (hauteur issue de C).
✅ Correction
  1. ACB=180°−75°−60°=45°.
  2. AB/sinC=500/sin45°=500/(√2/2)=500√2. AC=500√2·sin60°=500√2·(√3/2)=250√6≈612 m. BC=500√2·sin75°=500√2·((√6+√2)/4)=500(√12+2)/4=500(2√3+2)/4=250(√3+1)≈683 m.
  3. Aire=(1/2)×AC×BC×sinC=(1/2)×250√6×250(√3+1)×(√2/2). Ou plus simple : Aire=(1/2)×AB×h=(1/2)×500×h. Aire=(1/2)×500√2×sin75°×500√2·sin60°/sin45° ... Utilisons Aire=(1/2)×AB×AC×sinA=(1/2)×500×250√6×sin75°=(125000√6×(√6+√2)/4)=125000(6+√12)/4≈208 333 m².
  4. h=2×Aire/AB=2×208333/500≈833 m.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Le théorème des sinus énonce que a/sinA est égal à :

Q2/10

La loi des cosinus donne a² = :

Q3/10

L'aire d'un triangle avec b=4, c=5 et A=30° est :

Q4/10

Si a=b=c (équilatéral), la loi des cosinus donne cosA = :

Q5/10

Pour cos(→u,→v) = produit scalaire / (||→u||×||→v||) avec →u=(1;0) et →v=(0;1) :

Q6/10

Dans un triangle ABC avec A+B+C=π, sin(A+B) = :

Q7/10

Le déterminant det(→u,→v) = ad−bc avec →u=(a;b) et →v=(c;d). Si det=0 :

Q8/10

Triangle ABC : a=6, b=8, c=10. Quel angle est droit ?

Q9/10

2R = a/sinA. Si a=10 et A=π/6, R vaut :

Q10/10

Quatre points sont cocycliques si :