Ch. 16 — Calculs barycentriques et ensembles de points — 1ère D Mathématiques

1. Barycentre de points pondérés

Définition

Le barycentre G des points (A₁,a₁), (A₂,a₂), ..., (Aₙ,aₙ) avec Σaᵢ ≠ 0 est le point tel que :

a₁·GA₁→ + a₂·GA₂→ + ... + aₙ·GAₙ→ = →0

En coordonnées : G = (Σaᵢxᵢ / Σaᵢ ; Σaᵢyᵢ / Σaᵢ)

Cas particuliers importants

• Milieu de [AB] : barycentre de (A,1) et (B,1). MA→ + MB→ = →0.

• Centre de gravité du triangle ABC : barycentre de (A,1),(B,1),(C,1). G=((xA+xB+xC)/3 ; (yA+yB+yC)/3).

• Associativité : barycentre de {(A,a),(B,b)} et (C,c) = barycentre de {barycentre de (A,a),(B,b) avec poids a+b} et (C,c).

Exemple

G = barycentre de (A,2),(B,3),(C,−1). Poids total = 4.

G = (2xA+3xB−xC)/4 ; (2yA+3yB−yC)/4). Vérif : 2·GA→+3·GB→−1·GC→=→0 ✅.

2. Réduction d'expressions vectorielles f(M)

Expression f(M) = Σ aᵢ·MAᵢ→

Pour tout point M, on peut réduire f(M) = a·MA→ + b·MB→ + c·MC→

• Si a+b+c ≠ 0 : f(M) = (a+b+c)·MG→ où G est le barycentre de (A,a),(B,b),(C,c). L'expression est minimisée en G.

• Si a+b+c = 0 : f(M) = vecteur constant (indépendant de M).

Expression f(M) = Σ aᵢ·MAᵢ²

Pour f(M) = a·MA² + b·MB² + c·MC² avec a+b+c ≠ 0 :

f(M) = (a+b+c)·MG² + k

où G est le barycentre de (A,a),(B,b),(C,c) et k est une constante calculable.

Le minimum de f(M) est atteint en G et vaut k.

Exemple

f(M) = MA² + MB². a=b=1, a+b=2. G = milieu de AB.

f(M) = 2·MG² + k avec k = GA² + GB² = AB²/2 (Théorème de la médiane).

Minimum de f = AB²/2, atteint en G = milieu de [AB].

3. Ensembles de points — Lieu géométrique

Lignes de niveau : f(M) = k

L'ensemble des points M vérifiant f(M) = k (constante) s'appelle ligne de niveau de f.

• Si f(M) = MA² + MB² et a+b=2 : ensemble est un cercle de centre G.

Équation : 2·MG² + k = K → MG² = (K−k)/2 → cercle de centre G.

Arcs capables

L'ensemble des points M d'où un segment AB est vu sous un angle θ constant est un arc de cercle passant par A et B.

Si θ = 90° : c'est un demi-cercle de diamètre AB (théorème de Thalès).

Si θ ≠ 90° : deux arcs de cercle (un de chaque côté de AB).

Ensembles images par des applications

L'image d'un ensemble (droite, cercle, segment) par une application ponctuelle (isométrie, homothétie) est un ensemble de même nature.

• Image d'un cercle par une homothétie H(O,k) : cercle de rayon |k|r.

• Image d'une droite par une translation : droite parallèle.

🧠 À retenir absolument

Barycentre G de (Aᵢ,aᵢ) : Σaᵢ·GAᵢ→ = →0 ; G = (ΣaᵢxAᵢ)/(Σaᵢ)
f(M)=ΣaᵢMAᵢ→ : si Σaᵢ≠0, f(M)=(Σaᵢ)·MG→ (minimum en G si f est une norme)
f(M)=ΣaᵢMAᵢ² : minimum en G=barycentre, valeur = constante k
Ligne de niveau de MA²+MB² = cercle de centre G=milieu de [AB]
Arc capable d'angle θ sur [AB] : arc de cercle passant par A et B

Calcul de barycentres

● Facile

G = barycentre de (A(1;2), 3) et (B(5;−2), 1). Calculer G et vérifier 3·GA→+1·GB→=→0.
G' = centre de gravité de A(0;0), B(6;0), C(3;6). Calculer G'.

✅ Correction

G=((3×1+1×5)/4 ; (3×2+1×(−2))/4)=(8/4;4/4)=(2;1). GA→=(1−2;2−1)=(−1;1), GB→=(5−2;−2−1)=(3;−3). 3(−1;1)+(3;−3)=(0;0) ✅.
G'=((0+6+3)/3;(0+0+6)/3)=(3;2).

Réduction d'expressions vectorielles

● Moyen

A(1;0), B(3;2), C(5;−2).

Réduire f(M) = 2·MA→ + 3·MB→ − MA→ (simplifier d'abord).
Réduire g(M) = MA→ + 2·MB→ + 3·MC→ et trouver le barycentre G. Calculer g(G).
Exprimer h(M) = MA→ − MB→ sous forme de vecteur constant.

✅ Correction

2·MA→+3·MB→−MA→ = MA→+3·MB→. Somme des poids = 1+3=4. G=barycentre de (A,1),(B,3)=((1+9)/4;(0+6)/4)=(10/4;6/4)=(5/2;3/2). f(M)=4·MG→.
Somme poids=6. G=((1+6+15)/6;(0+4−6)/6)=(22/6;−2/6)=(11/3;−1/3). g(G)=6·GG→=→0.
Somme poids=0. h(M)=MA→−MB→=BA→ (vecteur constant). BA→=(1−3;0−2)=(−2;−2).

Minimum de MA²+MB²

● Moyen

A(2;0) et B(−2;0).

Calculer f(M)=MA²+MB² en fonction de M=(x;y).
Trouver le minimum de f(M) et le point M qui le réalise.
Identifier l'ensemble {M : f(M)=8}.

✅ Correction

MA²=(x−2)²+y², MB²=(x+2)²+y². f=2x²+8+2y²=2(x²+y²)+8.
f≥8 avec égalité en x=y=0. Minimum=8 en G=(0;0) (milieu de AB).
f(M)=8 → 2(x²+y²)+8=8 → x²+y²=0 → {M=(0;0)} (un seul point).

Arc capable

● Moyen

A(−2;0) et B(2;0). On cherche les points M tels que l'angle AMB soit droit (90°).

Exprimer la condition MA→·MB→=0 en coordonnées de M=(x;y).
Identifier l'ensemble obtenu.
Quelle est la signification géométrique (arc capable) ?

✅ Correction

MA→=(−2−x;−y), MB→=(2−x;−y). MA→·MB→=(−2−x)(2−x)+(−y)(−y)=x²−4+y²=0.
x²+y²=4 : cercle de centre O et rayon 2.
L'ensemble des points M d'où AB est vu sous un angle de 90° est le cercle de diamètre AB = cercle de centre O et rayon 2 (sauf A et B). C'est un arc capable d'angle 90°.

Problème — Lieu géométrique

● Difficile

A(0;0) et B(4;0). Soit f(M) = 2·MA² + MB².

G = barycentre de (A,2) et (B,1). Calculer G.
Montrer que f(M)=3·MG²+k et calculer k.
Décrire l'ensemble {M : f(M)=4}. Est-ce un cercle ?
Trouver le minimum de f et le point où il est atteint.

✅ Correction

G=((2×0+1×4)/3;0)=(4/3;0).
f(M)=2MA²+MB²=2(MG+GA→)²+(MG+GB→)²... Utilisons la formule : f(M)=(a+b+c)·MG²+k avec k=a·GA²+b·GB²+... k=2×GA²+1×GB²=2×(4/3)²+(8/3)²=2×16/9+64/9=32/9+64/9=96/9=32/3. f(M)=3·MG²+32/3.
3·MG²+32/3=4 → MG²=(4−32/3)/3=(12/3−32/3)/3=−20/9<0. Ensemble vide ! (car f(M)≥32/3≈10,67>4 toujours).
Minimum=32/3 atteint en G=(4/3;0).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

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0/10Répondues

Q1/10

Le barycentre G de (A,a) et (B,b) vérifie :

Q2/10

Le centre de gravité d'un triangle ABC a pour coordonnées :

Q3/10

Si Σaᵢ=0 dans f(M)=ΣaᵢMAᵢ→, alors f(M) est :

Q4/10

Le minimum de f(M)=MA²+MB² est atteint :

Q5/10

L'ensemble {M : MA→·MB→=0} est :

Q6/10

L'arc capable d'angle θ sur [AB] est :

Q7/10

Barycentre de (A,3) et (B,1) avec A(0;0), B(4;0) :

Q8/10

Si f(M)=Σaᵢ·MAᵢ→ et Σaᵢ≠0, le minimum de ||f(M)|| est :

Q9/10

L'image d'un cercle de rayon r par H(O,k) est :

Q10/10

Pour trouver l'ensemble {M : f(M)=k} avec f(M)=(a+b)MG²+c, c'est :