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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 17
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1. Rappels et propriétés du produit scalaire

Définitions et formules

→u·→v = ||→u||·||→v||·cosθ = ac+bd (dans un repère orthonormé, →u=(a;b), →v=(c;d)).

Propriétés : commutativité, bilinéarité, →u·→u = ||→u||².

Identités remarquables vectorielles :

• ||→u+→v||² = ||→u||² + 2→u·→v + ||→v||²

• ||→u−→v||² = ||→u||² − 2→u·→v + ||→v||²

• (→u+→v)·(→u−→v) = ||→u||² − ||→v||²

2. Équation d'un cercle par le produit scalaire

Caractérisation du cercle

Le cercle de centre Ω et rayon r est l'ensemble des points M tels que :

ΩM→·ΩM→ = r² soit ||ΩM→||² = r²

Equivalence : M sur le cercle ⟺ AM→·BM→ = 0 si [AB] est un diamètre.

Puissance d'un point par rapport à un cercle

La puissance du point P par rapport au cercle (C) de centre Ω et rayon r est :

pow(P) = PΩ² − r²

• pow(P) > 0 : P extérieur au cercle

• pow(P) = 0 : P sur le cercle

• pow(P) < 0 : P intérieur au cercle

Si une droite passant par P coupe le cercle en M et N : pow(P) = PM·PN (algébrique).

3. Théorème de la médiane (Apollonius)

Énoncé

Soit M le milieu de [AB]. Pour tout point P :

PA² + PB² = 2PM² + AB²/2 (= 2(PM² + MA²))

Démonstration : PA→ = PM→ + MA→, PB→ = PM→ + MB→ = PM→ − MA→.

PA²+PB² = ||PM+MA||²+||PM−MA||² = 2||PM||²+2||MA||² = 2PM²+AB²/2.

Application

Le minimum de PA²+PB² est 2PM²+AB²/2. Il est minimum (= AB²/2) quand P=M (milieu).

4. Distance d'un point à une droite et à un plan

Distance dans le plan

Distance du point P(x₀;y₀) à la droite (D) d'équation ax+by+c=0 :

d(P, D) = |ax₀+by₀+c| / √(a²+b²)

Le dénominateur est la norme du vecteur normal →n=(a;b).

Distance dans l'espace

Distance du point P(x₀;y₀;z₀) au plan (π) d'équation ax+by+cz+d=0 :

d(P, π) = |ax₀+by₀+cz₀+d| / √(a²+b²+c²)

Exemples

d(P(3;4), droite 3x+4y−25=0) = |9+16−25|/5 = 0/5 = 0 → P est sur la droite.

d(P(1;2;3), plan x+y+z−1=0) = |1+2+3−1|/√3 = 5/√3 = 5√3/3.

5. Cocyclicité de quatre points

Critère de cocyclicité

Quatre points A, B, C, D sont cocycliques (ou alignés 3 à 3) si et seulement si :

PA→·PB→ = PC→·PD→ pour tout point P (puissance constante).

Ou : vérifier que les quatre points vérifient une même équation de cercle.

🧠 À retenir absolument

  • ||→u+→v||²=||→u||²+2→u·→v+||→v||² ; identités vectorielles
  • Cercle (Ω,r) : ||ΩM→||²=r² ; ou AM→·BM→=0 si AB diamètre
  • Puissance : pow(P)=PΩ²−r² ; neg=intérieur ; pos=extérieur
  • Théorème de la médiane : PA²+PB²=2PM²+AB²/2
  • d(P,D)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) ; d(P,π)=|ax₀+by₀+cz₀+d|/√(a²+b²+c²)
1

Identités vectorielles

● Facile

→u=(3;4) et →v=(1;−2).

  1. Calculer →u·→v, ||→u||, ||→v||.
  2. Calculer ||→u+→v||² en utilisant l'identité.
  3. Vérifier directement.
✅ Correction
  1. →u·→v=3−8=−5. ||→u||=5. ||→v||=√5.
  2. ||→u+→v||²=||→u||²+2→u·→v+||→v||²=25−10+5=20.
  3. →u+→v=(4;2). ||→u+→v||²=16+4=20 ✅.
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Équation de cercle et puissance

● Moyen
  1. Écrire l'équation du cercle de centre Ω(2;−1) et rayon 3. Développer sous forme x²+y²+ax+by+c=0.
  2. Calculer la puissance de P(5;3) par rapport à ce cercle.
  3. P est-il intérieur, extérieur, ou sur le cercle ?
✅ Correction
  1. (x−2)²+(y+1)²=9. Développé : x²−4x+4+y²+2y+1=9 → x²+y²−4x+2y−4=0.
  2. PΩ²=(5−2)²+(3+1)²=9+16=25. pow(P)=25−9=16.
  3. pow>0 → P est extérieur au cercle.
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Théorème de la médiane

● Moyen

A(1;0) et B(5;0). M est le milieu de [AB].

  1. Vérifier PA²+PB²=2PM²+AB²/2 pour P(0;3).
  2. Trouver le minimum de f(P)=PA²+PB² sur le plan et le point P optimal.
✅ Correction
  1. M=(3;0). PA²=1+9=10, PB²=25+9=34. PA²+PB²=44. 2PM²+AB²/2=2×(9+9)+16/2=36+8=44 ✅.
  2. f(P)=2PM²+8≥8. Minimum=8 en P=M=(3;0).
4

Distance d'un point à une droite et à un plan

● Moyen
  1. Distance de P(1;3) à la droite 2x−y+4=0.
  2. Distance de Q(2;1;−1) au plan x+2y−2z+3=0.
  3. Trouver les points de l'axe Ox à distance 2 de la droite y=3.
✅ Correction
  1. |2×1−3+4|/√(4+1)=|3|/√5=3/√5=3√5/5.
  2. |1×2+2×1−2×(−1)+3|/√(1+4+4)=|2+2+2+3|/3=9/3=3.
  3. Points de Ox : (x;0). Droite y=3 : 0·x+1·y−3=0. d=|0+0−3|/1=3≠2. Toujours 3. Aucun point (la distance de tout point de Ox à y=3 est constante = 3).
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Problème — Construction et cocyclicité

● Difficile

Quatre points A(0;0), B(4;0), C(4;3), D(0;3).

  1. Montrer que ABCD est un rectangle.
  2. Calculer les diagonales AC et BD. Sont-elles égales ?
  3. Montrer que A, B, C, D sont cocycliques en trouvant le centre et le rayon du cercle.
  4. Vérifier que la puissance de O(0;0)=A par rapport à ce cercle est bien −r² (car A est sur le cercle).
✅ Correction
  1. AB→=(4;0), BC→=(0;3). AB⊥BC (produit scalaire=0). Angles droits → rectangle.
  2. AC=√(16+9)=5. BD=√(16+9)=5. Diagonales égales ✅ (propriété du rectangle).
  3. Les diagonales d'un rectangle se coupent en leur milieu commun Ω=(2;3/2). Rayon = AC/2=5/2. Cercle de centre (2;3/2) et rayon 5/2. Vérif : ΩA²=(2²+(3/2)²)=4+9/4=25/4=(5/2)² ✅.
  4. pow(A)=AΩ²−r²=25/4−25/4=0 (car A est sur le cercle) ✅.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

||→u+→v||² est égal à :

Q2/10

Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des M tels que :

Q3/10

La puissance de P par rapport au cercle (Ω,r) est :

Q4/10

La distance de P(1;2) à la droite 3x+4y−5=0 est :

Q5/10

Le théorème de la médiane dit que PA²+PB²= :

Q6/10

pow(P)=0 signifie que :

Q7/10

(→u+→v)·(→u−→v) vaut :

Q8/10

Distance de Q(1;1;1) au plan x+y+z=0 :

Q9/10

Le minimum de PA²+PB² (M milieu de [AB]) est :

Q10/10

→u=(3;4). ||→u||² vaut :