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Accueil/ 1ère/ Série D/ Mathématiques/ Ch. 18
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1. Droites dans le plan

Formes d'équation d'une droite

• Forme réduite : y = mx + b (m = pente, b = ordonnée à l'origine)

• Forme cartésienne : ax + by + c = 0 (→n=(a;b) vecteur normal)

• Paramétriques : { x = x₀ + at ; y = y₀ + bt } (A₀ = point, →u=(a;b) vecteur directeur)

Pente et vecteur directeur : si →u=(a;b), pente m = b/a (si a≠0).

Perpendiculaires : m₁×m₂ = −1 ou →n₁·→u₂ = 0.

2. Plans et droites dans l'espace

Équation cartésienne d'un plan

Un plan est déterminé par un point A₀(x₀;y₀;z₀) et un vecteur normal →n=(a;b;c) :

a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0 soit ax + by + cz + d = 0

Équations d'une droite dans l'espace

Droite passant par A(x₀;y₀;z₀) et de vecteur directeur →u=(a;b;c) :

Paramétriques :

{ x = x₀ + at { y = y₀ + bt { z = z₀ + ct, t ∈ ℝ

Symétriques (si a,b,c ≠ 0) : (x−x₀)/a = (y−y₀)/b = (z−z₀)/c

Positions relatives droites et plans dans l'espace

Droite (d) de vecteur →u et plan (π) de normale →n :

• →u · →n = 0 : la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans)

• →u · →n ≠ 0 : la droite est sécante au plan (un point d'intersection)

• →u = k→n : la droite est perpendiculaire au plan

3. Cercle et sphère

Équation du cercle dans le plan

Cercle de centre Ω(a;b) et rayon r :

(x−a)² + (y−b)² = r² soit x²+y²−2ax−2by+(a²+b²−r²) = 0

Tout cercle s'écrit x²+y²+Dx+Ey+F=0 (avec centre (−D/2;−E/2) et rayon √(D²/4+E²/4−F)).

Équation de la sphère dans l'espace

Sphère de centre Ω(a;b;c) et rayon r :

(x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = r²

4. Positions relatives dans le plan — Synthèse

Deux droites dans le plan

Pentes m₁ et m₂ :

• m₁=m₂ : parallèles (ou confondues si même ordonnée à l'origine)

• m₁×m₂=−1 : perpendiculaires

• m₁≠m₂ : sécantes (un point d'intersection)

Droite et cercle

Distance d du centre au dénominateur :

• d < r : sécante (2 points communs)

• d = r : tangente (1 point commun)

• d > r : extérieure (0 point commun)

Exemple — Tangente à un cercle

Cercle (Ω,3), Ω=(0;0). Droite d : 3x+4y−15=0.

d(Ω,d) = |0+0−15|/5 = 3 = r. Droite tangente au cercle.

5. Expressions analytiques des applications ponctuelles

En coordonnées

• Translation →t=(a;b) : x'=x+a, y'=y+b

• Symétrie axiale (Ox) : x'=x, y'=−y

• Symétrie axiale (Oy) : x'=−x, y'=y

• Rotation (O,π/2) : x'=−y, y'=x

• Rotation (O,π) : x'=−x, y'=−y (symétrie centrale)

• Homothétie (O,k) : x'=kx, y'=ky

• Symétrie axiale (y=x) : x'=y, y'=x

🧠 À retenir absolument

  • Plan ax+by+cz+d=0 : →n=(a;b;c) vecteur normal
  • Droite dans ℝ³ : équations paramétriques ou symétriques
  • Cercle (Ω,r) : (x−a)²+(y−b)²=r² ; sphère : +z dimension
  • Droite ⊥ plan ⟺ →u = k→n ; droite ∥ plan ⟺ →u·→n=0
  • Position droite/cercle : comparer d(centre,droite) avec r
1

Droites dans le plan

● Facile
  1. Équation cartésienne de la droite passant par A(1;2) et B(3;6).
  2. La droite y=3x+1 est-elle perpendiculaire à y=−x/3+2 ?
  3. Point d'intersection de y=2x−1 et y=−x+5.
✅ Correction
  1. m=(6−2)/(3−1)=2. y−2=2(x−1) → y=2x. Cartésienne : 2x−y=0.
  2. m₁=3, m₂=−1/3. m₁×m₂=−1. Oui, perpendiculaires ✅.
  3. 2x−1=−x+5 → 3x=6 → x=2, y=3. Intersection (2;3).
2

Plans et droites dans l'espace

● Moyen
  1. Équation du plan passant par A(1;2;3) et de normale →n=(2;−1;3).
  2. Équations paramétriques de la droite passant par B(2;0;1) et de vecteur →u=(1;2;−1).
  3. La droite (d) de vecteur →u=(1;1;0) est-elle parallèle ou sécante au plan 2x+3y−z+1=0 ?
✅ Correction
  1. 2(x−1)−(y−2)+3(z−3)=0 → 2x−y+3z−9=0. Plan : 2x−y+3z=9.
  2. { x=2+t ; y=2t ; z=1−t, t∈ℝ.
  3. →u·→n=1×2+1×3+0×(−1)=5≠0. La droite est sécante au plan.
3

Cercle et sphère

● Moyen
  1. Trouver le centre et le rayon du cercle x²+y²−6x+4y−3=0.
  2. Écrire l'équation de la sphère de centre Ω(1;−1;2) et rayon 4.
  3. Le point P(3;2;−1) est-il sur cette sphère ?
✅ Correction
  1. Compléter les carrés : (x−3)²−9+(y+2)²−4−3=0 → (x−3)²+(y+2)²=16. Centre (3;−2), rayon 4.
  2. (x−1)²+(y+1)²+(z−2)²=16.
  3. (3−1)²+(2+1)²+(−1−2)²=4+9+9=22≠16. P n'est pas sur la sphère.
4

Position droite-cercle

● Moyen

Cercle (C) de centre Ω(3;1) et rayon 5. Droite (d) : 3x+4y−25=0.

  1. Calculer la distance de Ω à (d).
  2. Quelle est la position relative de (d) et (C) ?
  3. Calculer la longueur de la corde si la droite est sécante.
✅ Correction
  1. d(Ω,d)=|3×3+4×1−25|/5=|9+4−25|/5=12/5=2,4.
  2. d=2,4 < r=5. Droite sécante.
  3. Demi-corde=√(r²−d²)=√(25−5,76)=√19,24≈4,39. Corde=2×4,39≈8,77.
5

Problème — Géométrie analytique dans l'espace

● Difficile

Droite (d) : { x=1+2t ; y=2−t ; z=3t } et plan (π) : 2x−y+z−4=0.

  1. Vecteur directeur de (d) et normale à (π). La droite est-elle perpendiculaire au plan ?
  2. Trouver le point d'intersection de (d) et (π) en substituant les paramétriques dans l'équation du plan.
  3. Calculer la distance de A(1;2;0) au plan (π).
✅ Correction
  1. →u=(2;−1;3). →n=(2;−1;1). →u=k→n? 2/2=1, −1/−1=1, 3/1=3 → non proportionnels. Non perpendiculaire. →u·→n=4+1+3=8≠0 → sécante.
  2. Substituer : 2(1+2t)−(2−t)+(3t)−4=0 → 2+4t−2+t+3t−4=0 → 8t−4=0 → t=1/2. Point : (1+1; 2−1/2; 3/2)=(2;3/2;3/2).
  3. d(A,π)=|2×1−1×2+1×0−4|/√(4+1+1)=|2−2−4|/√6=4/√6=2√6/3.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score
0/10Répondues
Q1/10

Le vecteur normal au plan 3x−2y+z=5 est :

Q2/10

Droite dans ℝ³ passant par A(1;0;2) et de vecteur →u=(2;1;−1). Paramétrique de x :

Q3/10

La sphère de centre O(0;0;0) et rayon 3 a pour équation :

Q4/10

Le centre du cercle x²+y²−4x+6y+4=0 est :

Q5/10

Si la distance du centre d'un cercle à une droite est égale au rayon, la droite est :

Q6/10

Deux droites m₁×m₂=−1 sont :

Q7/10

La droite (d) de vecteur →u=(1;0;0) et le plan x+y+z=5 (normale →n=(1;1;1)) :

Q8/10

Équation paramétrique d'une droite ℝ³ a :

Q9/10

La droite 3x+4y−10=0 est tangente au cercle de centre O(0;0) et rayon :

Q10/10

L'image du point (3;−2) par la rotation R(O,π) est :