Ch. 19 — Statistiques descriptives avancées — 1ère D Mathématiques

1. Séries groupées en classes

Vocabulaire et notations

Quand les données sont nombreuses ou continues, on les regroupe en classes [aᵢ ; aᵢ₊₁[.

• Centre de classe : cᵢ = (aᵢ + aᵢ₊₁)/2

• Amplitude : h = aᵢ₊₁ − aᵢ (largeur de la classe)

• Effectif nᵢ : nombre de données dans la classe i

• Fréquence fᵢ = nᵢ/N : proportion de données dans la classe i

• Densité de fréquence : dᵢ = fᵢ/h (utilisée dans les histogrammes à classes inégales)

2. Effectifs et fréquences cumulés

Définitions

• Effectif cumulé croissant (ECC) à xᵢ : somme des effectifs de toutes les classes jusqu'à la classe contenant xᵢ.

• Fréquence cumulée croissante (FCC) : ECC/N (proportion d'individus ayant une valeur ≤ à la borne supérieure de la classe.

La courbe des effectifs (ou fréquences) cumulés est obtenue en portant la FCC en ordonnée et la borne supérieure de chaque classe en abscisse.

Exemple de tableau complet

Classe	Centre cᵢ	Effectif nᵢ	Fréq. fᵢ (%)	ECC	FCC (%)
[10 ; 15[	12,5	4	10	4	10
[15 ; 20[	17,5	12	30	16	40
[20 ; 25[	22,5	16	40	32	80
[25 ; 30[	27,5	8	20	40	100

3. Représentations graphiques

Histogramme

• Classes de même amplitude : la hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif (ou fréquence).

• Classes d'amplitude inégale : la hauteur est la densité de fréquence dᵢ = fᵢ/h (l'aire du rectangle = fréquence).

Polygone des effectifs cumulés

On joint par des segments les points (borne sup de classe ; ECC). Permet de lire graphiquement la médiane et les quartiles.

4. Caractéristiques de position

Moyenne arithmétique

x̄ = (Σ nᵢ · cᵢ) / N (en utilisant le centre de chaque classe)

Médiane et quartiles

La médiane Me divise la série en deux moitiés égales (FCC = 50%).

Interpolation linéaire dans la classe médiane [a;b[ avec effectif n_m et ECC avant = Ec :

Me = a + (N/2 − Ec) / n_m × h

• Quartile Q1 : FCC = 25% • Quartile Q3 : FCC = 75%

• Écart interquartile : IQR = Q3 − Q1

5. Caractéristiques de dispersion

Variance et écart-type

V = (Σ nᵢ · cᵢ²) / N − x̄² (formule de Koenig)

σ = √V (écart-type, même unité que les données)

• σ petit → données concentrées autour de x̄

• σ grand → données très dispersées

Coefficient de variation

CV = σ / x̄ × 100% (dispersion relative, permet de comparer des séries d'unités différentes)

🧠 À retenir absolument

Centre de classe cᵢ=(aᵢ+aᵢ₊₁)/2 ; Densité=fᵢ/h (histogramme classes inégales)
Moyenne : x̄=Σnᵢcᵢ/N (avec centres de classes)
Médiane par interpolation : Me=a+(N/2−Ec)/n_m × h
Variance : V=Σnᵢcᵢ²/N − x̄² ; Écart-type : σ=√V
Q1 (FCC=25%), Q3 (FCC=75%) par la même interpolation

Tableau de distribution groupée

● Facile

Les tailles (en cm) de 50 élèves sont regroupées ainsi :

Classe	[150;155[	[155;160[	[160;165[	[165;170[	[170;175[
Effectif	5	12	18	10	5

Vérifier N=50. Calculer les centres de classes.
Calculer les effectifs cumulés croissants et fréquences cumulées.
Quel angle pour la classe [160;165[ dans un diagramme circulaire ?

✅ Correction

5+12+18+10+5=50 ✅. Centres : 152,5 ; 157,5 ; 162,5 ; 167,5 ; 172,5.
ECC : 5, 17, 35, 45, 50. FCC : 10%, 34%, 70%, 90%, 100%.
f=18/50=36%. Angle=36%×360°=129,6°.

Calcul de la moyenne et de la médiane

● Moyen

(Suite de l'exercice 1 sur les tailles de 50 élèves.)

Calculer la moyenne x̄ (utiliser les centres de classes).
Trouver la classe médiane. Calculer la médiane par interpolation.
Calculer Q1 (FCC=25%) et Q3 (FCC=75%).

✅ Correction

x̄=(5×152,5+12×157,5+18×162,5+10×167,5+5×172,5)/50=(762,5+1890+2925+1675+862,5)/50=8115/50=162,3 cm.
Médiane : FCC=50% → N/2=25. ECC avant [160;165[=17. Classe médiane=[160;165[. Me=160+(25−17)/18×5=160+40/18=160+2,22≈162,2 cm.
Q1 : FCC=25% → N/4=12,5. ECC avant [155;160[=5. Q1=155+(12,5−5)/12×5=155+3,125≈158,1 cm. Q3 : FCC=75% → 3N/4=37,5. ECC avant [165;170[=35. Q3=165+(37,5−35)/10×5=165+1,25=166,25 cm.

Variance et écart-type

● Moyen

(Suite — tailles des 50 élèves, x̄=162,3 cm.)

Calculer Σnᵢcᵢ² puis la variance V=Σnᵢcᵢ²/N − x̄².
Calculer l'écart-type σ.
Calculer le coefficient de variation CV=σ/x̄×100.

✅ Correction

Σnᵢcᵢ²=5×152,5²+12×157,5²+18×162,5²+10×167,5²+5×172,5²=116281,25+297675+475312,5+280562,5+148781,25=1318612,5. V=1318612,5/50−162,3²=26372,25−26341,29=30,96.
σ=√30,96≈5,56 cm.
CV=5,56/162,3×100≈3,43%. Faible : les tailles sont assez homogènes.

Histogramme à classes inégales

● Moyen

Classe	[0;10[	[10;20[	[20;40[	[40;60[
Effectif	8	16	20	6

Calculer N et les fréquences.
Calculer les densités de fréquence (dᵢ=fᵢ/h).
Pourquoi utiliser les densités plutôt que les fréquences pour cet histogramme ?

✅ Correction

N=50. f : 16%, 32%, 40%, 12%.
Amplitudes : 10, 10, 20, 20. Densités : 16/10=1,6 ; 32/10=3,2 ; 40/20=2,0 ; 12/20=0,6 (en %/unité).
Avec des classes inégales, l'aire des barres doit être proportionnelle aux fréquences. Si on utilisait les fréquences comme hauteurs, les classes larges seraient visuellement sur-représentées. La densité garantit : aire = fréquence = hauteur × largeur.

Problème — Comparaison de deux séries

● Difficile

Deux classes passent le même test (sur 20). Les résultats groupés :

Classe	[4;8[	[8;12[	[12;16[	[16;20]
Classe A (n)	2	10	16	2
Classe B (n)	6	8	8	8

Calculer N pour chaque classe.
Calculer la moyenne de chaque classe (centres : 6, 10, 14, 18).
Calculer la variance de chaque classe. Conclure sur la dispersion.

✅ Correction

NA=30, NB=30.
x̄A=(2×6+10×10+16×14+2×18)/30=(12+100+224+36)/30=372/30=12,4. x̄B=(6×6+8×10+8×14+8×18)/30=(36+80+112+144)/30=372/30=12,4. Mêmes moyennes !
ΣnAcA²=(2×36+10×100+16×196+2×324)/30=(72+1000+3136+648)/30=4856/30≈161,87. VA≈161,87−153,76=8,11. σA≈2,85. ΣnBcB²=(6×36+8×100+8×196+8×324)/30=(216+800+1568+2592)/30=5176/30≈172,53. VB≈172,53−153,76=18,77. σB≈4,33. Même moyenne mais la classe A est plus homogène (σA<σB).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Q1/10

Le centre de la classe [20;30[ est :

Q2/10

Dans un histogramme à classes inégales, la hauteur de chaque barre représente :

Q3/10

La médiane correspond à une fréquence cumulée de :

Q4/10

La formule de Koenig pour la variance est :

Q5/10

L'écart interquartile IQR est :

Q6/10

N=40. La classe médiane est celle où l'ECC dépasse pour la première fois :

Q7/10

Le coefficient de variation CV=σ/x̄ sert à :

Q8/10

Une fréquence cumulée croissante de 80% signifie que :

Q9/10

x̄=15, σ=3. Le coefficient de variation est :

Q10/10

Un σ très faible indique que :