Ch. 20 — Statistiques à deux caractères et corrélation — 1ère D Mathématiques

1. Séries statistiques à deux caractères

Nuage de points

Lorsqu'on étudie simultanément deux caractères X et Y sur N individus, on obtient N couples (xᵢ ; yᵢ).

Le nuage de points est la représentation graphique de ces N couples dans un repère orthogonal.

Point moyen

Le point moyen (centre de gravité du nuage) est G(x̄ ; ȳ) où :

x̄ = (Σ nᵢ xᵢ) / N et ȳ = (Σ nᵢ yᵢ) / N

Propriété fondamentale : toute droite de régression passe par le point moyen G.

2. Ajustement linéaire

Droite de régression de Y en X

La droite de régression de Y en X est la droite y = ax + b qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux. Elle passe obligatoirement par G(x̄;ȳ).

Coefficients :

a = Cov(X,Y) / Var(X) et b = ȳ − a·x̄

avec :

Cov(X,Y) = (Σ nᵢ xᵢ yᵢ)/N − x̄·ȳ

Var(X) = (Σ nᵢ xᵢ²)/N − x̄²

Coefficient de corrélation linéaire

r = Cov(X,Y) / (σX · σY) avec σX=√Var(X), σY=√Var(Y)

• r ∈ [−1 ; 1]

• |r| proche de 1 : forte corrélation linéaire

• |r| proche de 0 : faible corrélation (ou pas de relation linéaire)

• r > 0 : corrélation positive (Y croît quand X croît)

• r < 0 : corrélation négative

3. Méthode de Mayer (droite des points médians)

Méthode pratique d'ajustement

La méthode de Mayer est une méthode pratique d'ajustement :

1. Ordonner les points par abscisse croissante.

2. Partager en deux groupes de taille égale (ou quasi-égale).

3. Calculer le point moyen de chaque groupe : G₁(x̄₁;ȳ₁) et G₂(x̄₂;ȳ₂).

4. La droite de Mayer est la droite passant par G₁ et G₂.

Pente : a = (ȳ₂ − ȳ₁)/(x̄₂ − x̄₁) et b = ȳ₁ − a·x̄₁

Avantages et limites

• Plus simple à calculer que la droite des moindres carrés.

• Donne une bonne approximation de la tendance générale.

• Moins précise que la méthode des moindres carrés.

4. Prévision et limites de la corrélation

Utilisation de la droite de régression

La droite y=ax+b permet de prévoir y connaissant x (interpolation ou extrapolation).

Attention : la corrélation n'implique pas la causalité. Deux variables peuvent être corrélées sans lien de cause à effet direct.

L'extrapolation loin des données observées est hasardeuse.

🧠 À retenir absolument

Point moyen G(x̄;ȳ) : centre de gravité du nuage, sur toute droite de régression
Cov(X,Y) = Σnᵢxᵢyᵢ/N − x̄ȳ ; Var(X) = Σnᵢxᵢ²/N − x̄²
Pente de régression : a = Cov(X,Y)/Var(X) ; ordonnée : b = ȳ−ax̄
Coefficient de corrélation : r = Cov/(σX·σY) ∈ [−1;1]
Méthode de Mayer : diviser en 2 groupes → G₁, G₂ → droite G₁G₂

Point moyen et nuage

● Facile

Un étudiant mesure la durée d'étude X (en h) et la note Y (sur 20) sur 6 séances :

X (h)	1	2	3	4	5	6
Y (note)	6	9	11	13	16	17

Calculer x̄ et ȳ (point moyen G).
Calculer Σxᵢyᵢ et Cov(X,Y).
Calculer Var(X) et σX.

✅ Correction

x̄=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3,5. ȳ=(6+9+11+13+16+17)/6=72/6=12. G=(3,5;12).
Σxᵢyᵢ=6+18+33+52+80+102=291. Cov=291/6−3,5×12=48,5−42=6,5.
Σxᵢ²=1+4+9+16+25+36=91. Var(X)=91/6−3,5²=15,167−12,25=2,917. σX=√2,917≈1,708.

Droite de régression par les moindres carrés

● Moyen

(Suite de l'exercice 1)

Calculer la pente a et l'ordonnée à l'origine b de la droite de régression de Y en X.
Vérifier que la droite passe par G(3,5;12).
Prévoir la note pour 4,5h d'étude et pour 8h d'étude. Laquelle de ces prévisions est plus fiable ?

✅ Correction

a=Cov/Var(X)=6,5/2,917≈2,23. b=ȳ−ax̄=12−2,23×3,5=12−7,8=4,2. Droite : y=2,23x+4,2.
y(3,5)=2,23×3,5+4,2=7,8+4,2=12=ȳ ✅.
y(4,5)=2,23×4,5+4,2≈14,2 (interpolation, fiable). y(8)=2,23×8+4,2≈22 (extrapolation hors données, peu fiable et dépasse 20). La prévision à 4,5h est plus fiable.

Coefficient de corrélation

● Moyen

(Suite — données: x̄=3,5, ȳ=12, Cov=6,5, σX≈1,708)

Calculer Var(Y) et σY. (Σyᵢ²=6²+9²+11²+13²+16²+17²=36+81+121+169+256+289=952)
Calculer le coefficient de corrélation r.
Interpréter la valeur de r.

✅ Correction

Var(Y)=952/6−12²=158,67−144=14,67. σY=√14,67≈3,83.
r=Cov/(σX×σY)=6,5/(1,708×3,83)=6,5/6,54≈0,994.
r≈0,994 très proche de 1 : corrélation linéaire très forte et positive. Plus on étudie longtemps, plus la note est élevée (relation quasi linéaire).

Méthode de Mayer

● Moyen

(Suite — 6 points de données : (1;6),(2;9),(3;11),(4;13),(5;16),(6;17))

Partager en deux groupes G1={(1;6),(2;9),(3;11)} et G2={(4;13),(5;16),(6;17)}.
Calculer les points moyens G₁ et G₂.
Écrire l'équation de la droite de Mayer passant par G₁ et G₂.

✅ Correction

G1={(1;6),(2;9),(3;11)}, G2={(4;13),(5;16),(6;17)}.
G₁=((1+2+3)/3;(6+9+11)/3)=(2;26/3≈8,67). G₂=((4+5+6)/3;(13+16+17)/3)=(5;46/3≈15,33).
a=(15,33−8,67)/(5−2)=6,67/3=2,22. b=8,67−2,22×2=8,67−4,44=4,23. Droite de Mayer : y=2,22x+4,23. Très proche de la droite des moindres carrés ✅.

Problème — Analyse complète

● Difficile

Prix X (en milliers de F) et quantités vendues Y (en dizaines) d'un produit :

X	10	15	20	25	30
Y	50	40	35	20	15

Calculer x̄, ȳ, Cov(X,Y), Var(X).
Déterminer la droite de régression de Y en X.
Calculer r et commenter le signe.
Prévoir Y pour X=18.

✅ Correction

x̄=20, ȳ=32. Σxᵢyᵢ=500+600+700+500+450=2750. Cov=2750/5−20×32=550−640=−90. Σxᵢ²=100+225+400+625+900=2250. Var(X)=2250/5−400=450−400=50.
a=−90/50=−1,8. b=32−(−1,8)×20=32+36=68. Droite : y=−1,8x+68.
Σyᵢ²=2500+1600+1225+400+225=5950. Var(Y)=5950/5−32²=1190−1024=166. σX=√50≈7,07, σY=√166≈12,88. r=−90/(7,07×12,88)=−90/91,1≈−0,988. r négatif : corrélation négative forte — quand le prix augmente, les ventes diminuent (logique économique).
y(18)=−1,8×18+68=−32,4+68=35,6 dizaines ≈ 356 unités.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Correction immédiate

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0/10Répondues

Q1/10

Le point moyen G(x̄;ȳ) est :

Q2/10

Cov(X,Y) = Σnᵢxᵢyᵢ/N − x̄ȳ. Si X et Y sont indépendants :

Q3/10

La pente a de la droite de régression de Y en X vaut :

Q4/10

r = −0,95 indique :

Q5/10

La méthode de Mayer consiste à :

Q6/10

r = 1 signifie que :

Q7/10

L'ordonnée à l'origine b de la droite de régression est :

Q8/10

Extrapoler la droite de régression très loin des données :

Q9/10

x̄=5, ȳ=10, a=2. L'ordonnée à l'origine b vaut :

Q10/10

Si r=0, le nuage de points ressemble à :