Ch. 21 — Dénombrement et probabilités — 1ère D Mathématiques

1. Outils de dénombrement

Principe fondamental de dénombrement

Si une expérience se décompose en deux étapes successives avec m résultats possibles pour la première et n pour la seconde, il y a m × n résultats possibles en tout.

Généralisation : si k étapes ont respectivement n₁, n₂, ..., nₖ résultats, le nombre total est n₁ × n₂ × ⋯ × nₖ.

Arrangements (permutations partielles)

Le nombre d'arrangements de p éléments parmi n (ordre compte, sans répétition) est :

Aⁿₚ = n! / (n−p)! = n(n−1)(n−2)⋯(n−p+1)

Cas particulier : Aⁿₙ = n! (permutation complète, factorielle)

Combinaisons

Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n (ordre ne compte pas, sans répétition) est :

Cⁿₚ = (ⁿₚ) = n! / (p!(n−p)!)

Propriétés : Cⁿₚ = Cⁿₙ₋ₚ • Cⁿ₀ = Cⁿₙ = 1 • Cⁿ₁ = n

Relation de Pascal : Cⁿ₊¹ₚ = Cⁿₚ₋₁ + Cⁿₚ

Triangle de Pascal

n=0: 1 n=1: 1 1 n=2: 1 2 1 n=3: 1 3 3 1 n=4: 1 4 6 4 1 n=5: 1 5 10 10 5 1

Application : (a+b)ⁿ = Σₚ₌₀ⁿ Cⁿₚ · aⁿ⁻ᵖ · bᵖ (formule du binôme de Newton)

2. Probabilités — Fondements

Définitions

• Expérience aléatoire : expérience dont l'issue ne peut être prédite avec certitude.

• Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles.

• Événement : toute partie de Ω.

• Probabilité classique : si les issues sont équiprobables : P(A) = |A| / |Ω| = (nb de cas favorables) / (nb de cas possibles).

Axiomes et propriétés

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A

• P(Ω) = 1 et P(∅) = 0

• P(A̅) = 1 − P(A) (événement contraire)

• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

• Si A et B sont incompatibles (A∩B=∅) : P(A∪B)=P(A)+P(B)

3. Probabilité conditionnelle et indépendance

Probabilité conditionnelle

La probabilité de A sachant B (P(B)>0) :

P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Équivalent : P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) = P(A) × P(B|A)

Indépendance de deux événements

A et B sont indépendants si : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Équivalent : P(A|B) = P(A) (connaître B ne change pas la probabilité de A).

Formule des probabilités totales

Si (B₁, B₂, ..., Bₖ) est une partition de Ω, alors pour tout événement A :

P(A) = P(A|B₁)·P(B₁) + P(A|B₂)·P(B₂) + ⋯ + P(A|Bₖ)·P(Bₖ)

4. Applications du dénombrement aux probabilités

Exemple — Tirage sans remise

Urne : 5 boules rouges, 3 bleues. On tire 2 boules sans remise.

Ω : C⁸₂ = 28 issues possibles.

P(2 rouges) = C⁵₂/C⁸₂ = 10/28 = 5/14.

P(1 rouge et 1 bleue) = C⁵₁×C³₁/C⁸₂ = 15/28.

Exemple — Formule des probabilités totales

Atelier A produit 60% des pièces, atelier B : 40%. Taux de défaut : 2% (A) et 3% (B).

P(défaut) = P(D|A)×P(A)+P(D|B)×P(B) = 0,02×0,6+0,03×0,4 = 0,012+0,012 = 0,024 = 2,4%.

🧠 À retenir absolument

Arrangements : Aⁿₚ = n!/(n−p)! ; Combinaisons : Cⁿₚ = n!/(p!(n−p)!)
Cⁿₚ = Cⁿₙ₋ₚ ; Pascal : Cⁿ⁺¹ₚ = Cⁿₚ₋₁ + Cⁿₚ
P(A̅)=1−P(A) ; P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
P(A|B)=P(A∩B)/P(B) ; indépendance : P(A∩B)=P(A)×P(B)
Probabilités totales : P(A)=ΣP(A|Bᵢ)×P(Bᵢ)

Calcul de dénombrements

● Facile

Calculer A⁵₃ (arrangements de 3 parmi 5).
Calculer C⁸₃ (combinaisons de 3 parmi 8).
Dans combien d'ordres peut-on placer 6 livres sur une étagère ?
Un code à 4 chiffres (0−9) sans répétition. Combien de codes distincts ?

✅ Correction

A⁵₃=5×4×3=60.
C⁸₃=8!/(3!×5!)=8×7×6/(3×2×1)=56.
6!=720 ordres.
A¹⁰₄=10×9×8×7=5040.

Triangle de Pascal et binôme

● Moyen

Calculer C⁶₂, C⁶₃, C⁶₄ en utilisant la formule.
Vérifier la relation de Pascal : C⁷₃ = C⁶₂ + C⁶₃.
Développer (x+1)⁴ en utilisant les coefficients du triangle de Pascal.

✅ Correction

C⁶₂=15, C⁶₃=20, C⁶₄=15.
C⁶₂+C⁶₃=15+20=35=C⁷₃=7!/(3!4!)=7×6×5/6=35 ✅.
(x+1)⁴=C⁴₀x⁴+C⁴₁x³+C⁴₂x²+C⁴₃x+C⁴₄=x⁴+4x³+6x²+4x+1.

Probabilité classique

● Moyen

Un comité de 3 personnes est choisi parmi 4 hommes et 3 femmes (7 personnes au total).

Combien de comités différents peut-on former ?
Calculer P(comité mixte : au moins une femme).
Calculer P(exactement 2 femmes).

✅ Correction

C⁷₃=35 comités.
P(au moins 1 femme)=1−P(0 femme)=1−C⁴₃/C⁷₃=1−4/35=31/35.
P(exactement 2 femmes)=C³₂×C⁴₁/C⁷₃=3×4/35=12/35.

Probabilité conditionnelle et indépendance

● Moyen

P(A)=0,4, P(B)=0,5, P(A∩B)=0,2.

Calculer P(A∪B).
Calculer P(A|B) et P(B|A).
A et B sont-ils indépendants ? Justifier.

✅ Correction

P(A∪B)=0,4+0,5−0,2=0,7.
P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0,2/0,5=0,4. P(B|A)=0,2/0,4=0,5.
P(A|B)=0,4=P(A). Oui, A et B sont indépendants : connaître B ne modifie pas la probabilité de A. Vérif : P(A)×P(B)=0,4×0,5=0,2=P(A∩B) ✅.

Problème — Probabilités totales et Bayes

● Difficile

Un test médical dépiste une maladie M. La maladie touche 1% de la population. Le test est positif (+) chez 95% des malades et chez 4% des non-malades (faux positifs).

Compléter l'arbre des probabilités avec P(M)=0,01, P(M̅)=0,99, P(+|M)=0,95, P(+|M̅)=0,04.
Calculer P(+) par la formule des probabilités totales.
Calculer P(M|+) — si le test est positif, quelle est la probabilité d'être vraiment malade ?

✅ Correction

P(M)=0,01 → P(+|M)=0,95, P(−|M)=0,05. P(M̅)=0,99 → P(+|M̅)=0,04, P(−|M̅)=0,96.
P(+)=P(+|M)×P(M)+P(+|M̅)×P(M̅)=0,95×0,01+0,04×0,99=0,0095+0,0396=0,0491 soit environ 4,91%.
P(M|+)=P(M∩+)/P(+)=P(+|M)×P(M)/P(+)=0,0095/0,0491≈0,193 soit environ 19,3%. Un test positif ne signifie pas nécessairement être malade ! Seulement 19% des positifs sont réellement malades (paradoxe du test).

QCM — Auto-évaluation

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Q1/10

Le nombre d'arrangements de 2 éléments parmi 5 (A⁵₂) est :

Q2/10

C⁵₂ est égal à :

Q3/10

La relation de Pascal est :

Q4/10

P(A̅) est égal à :

Q5/10

P(A∪B) avec A et B incompatibles est :

Q6/10

P(A|B)=P(A∩B)/P(B) est la probabilité :

Q7/10

A et B sont indépendants si :

Q8/10

6! est égal à :

Q9/10

Dans un sac : 3 rouges, 2 bleues. P(rouge) au 1er tirage :

Q10/10

La formule des probabilités totales s'applique quand :