Objectif Général 3 — Définition d'une fonction et d'une application, injection, surjection, bijection, parité, périodicité, prolongement et restriction.
Soit E et F deux ensembles. Une fonction f de E vers F, notée f : E → F, est une correspondance qui à certains éléments x de E associe au plus un élément y de F, noté y = f(x).
L'ensemble des éléments de E qui possèdent effectivement une image par f s'appelle l'ensemble (ou domaine) de définition de f, noté Df.
Si y = f(x), on dit que y est l'image de x par f, et que x est un antécédent de y par f.
Un élément de E a au plus une image (c'est la définition même d'une fonction), mais un élément de F peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Une application est une fonction f : E → F telle que tout élément de E possède une image, c'est-à-dire Df = E. Toute application est donc une fonction, mais une fonction n'est une application que si son domaine de définition est l'ensemble de départ tout entier.
f : ℝ → ℝ, x ↦ 1/x est une fonction mais pas une application, car 0 n'a pas d'image (Df = ℝ* ≠ ℝ).
g : ℝ → ℝ, x ↦ x² est une application, car tout réel x possède une image x² (Dg = ℝ).
Une application f : E → F est injective si deux éléments distincts de E ont toujours des images distinctes :
∀ x1, x2 ∈ E, x1 ≠ x2 ⟹ f(x1) ≠ f(x2)
Ce qui équivaut, par contraposée, à : f(x1) = f(x2) ⟹ x1 = x2. Graphiquement, toute droite horizontale coupe la courbe de f en au plus un point.
Une application f : E → F est surjective si tout élément de F possède au moins un antécédent dans E, c'est-à-dire si l'ensemble des images de f (l'image de E par f) est égal à F tout entier. Graphiquement, toute droite horizontale d'ordonnée dans F coupe la courbe en au moins un point.
Une application f : E → F est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de F possède alors exactement un antécédent dans E. Graphiquement, toute droite horizontale d'ordonnée dans F coupe la courbe en exactement un point. Une application bijective admet une application réciproque, notée f⁻¹.
f : ℝ → ℝ, x ↦ x² n'est ni injective (car f(2) = f(−2) = 4, deux antécédents distincts pour une même image) ni surjective (aucun réel négatif n'a d'antécédent, puisque x² ≥ 0). En revanche, g : [0;+∞[ → [0;+∞[, x ↦ x² est bijective : tout réel positif y a un unique antécédent, √y.
La parité n'a de sens que si le domaine de définition Df est symétrique par rapport à 0 : pour tout x ∈ Df, on a aussi −x ∈ Df.
f est paire si, pour tout x ∈ Df : f(−x) = f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Oy).
f est impaire si, pour tout x ∈ Df : f(−x) = −f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine O du repère.
| Fonction | Domaine | Parité | Vérification |
|---|---|---|---|
| x² | ℝ | Paire | (−x)² = x² |
| |x| | ℝ | Paire | |−x| = |x| |
| x³ | ℝ | Impaire | (−x)³ = −x³ |
| 1/x | ℝ* | Impaire | 1/(−x) = −1/x |
| x + 1 | ℝ | Ni paire ni impaire | −x+1 ≠ x+1 et −x+1 ≠ −(x+1) |
Une fonction f, de domaine Df, est périodique de période T (T réel strictement positif) si :
• Df est stable par les translations de vecteurs ±T (c'est-à-dire que si x ∈ Df, alors x+T ∈ Df et x−T ∈ Df) ;
• pour tout x ∈ Df : f(x + T) = f(x).
La courbe d'une fonction périodique se reproduit identique à elle-même tous les T sur l'axe des abscisses.
Les fonctions trigonométriques cosinus et sinus sont périodiques de période 2π : cos(x + 2π) = cos(x) pour tout réel x. La fonction « partie décimale » d(x) = x − E(x) (où E(x) est la partie entière de x) est périodique de période 1.
Soit f une fonction de domaine Df, et A une partie de Df (A ⊂ Df). La restriction de f à A, notée f|A, est la fonction définie sur A qui coïncide avec f sur A : pour tout x ∈ A, f|A(x) = f(x). On « réduit » simplement le domaine d'étude.
Soit f une fonction de domaine Df, et E′ un ensemble contenant Df (Df ⊂ E′). Une fonction g définie sur E′ est un prolongement de f à E′ si g coïncide avec f sur Df : pour tout x ∈ Df, g(x) = f(x). On « étend » ainsi la fonction à un domaine plus grand.
Soit f(x) = (x² − 1)/(x − 1), définie sur Df = ℝ \ {1}. Pour x ≠ 1, on peut simplifier : f(x) = (x−1)(x+1)/(x−1) = x + 1. La fonction g(x) = x + 1, définie sur ℝ tout entier, coïncide avec f partout où f est définie : g est donc un prolongement de f à ℝ, qui « comble » le trou en x = 1 (avec g(1) = 2, alors que f(1) n'existait pas).
On considère la fonction f définie par f(x) = 1/(x − 3).
Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes (préciser si le domaine est bien symétrique par rapport à 0) :
On considère la fonction f : ℝ → ℝ définie par f(x) = x² − 4.
On considère la fonction f définie par f(x) = (x² − 9)/(x − 3).
On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x³ − x, et la fonction h définie par h(x) = (x⁴ − 1)/(x² − 1).
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Une fonction f : E → F est une application lorsque :
Une fonction f est injective si :
Graphiquement, une application est bijective si :
La fonction f : ℝ → ℝ, x ↦ x² n'est pas injective car :
Une fonction f est paire si, pour tout x de son domaine (symétrique par rapport à 0) :
La courbe d'une fonction impaire est symétrique par rapport :
Une fonction f, de domaine Df, est périodique de période T si :
La restriction d'une fonction f à un sous-ensemble A ⊂ Df consiste à :
Soit f(x) = (x²−1)/(x−1), définie sur ℝ\{1}. Un prolongement de f à ℝ tout entier est donné par :
La fonction g : [0;+∞[ → [0;+∞[, x ↦ x² est :