Ch. 07 Mathématiques · 2nde C

Étude et représentation graphique des fonctions

Objectif Général 3 — Identifier les éléments d'étude d'une fonction : sens de variation, extremums, fonctions usuelles et leurs transformations.

1. Sens de variation d'une fonction

Définitions

Soit f définie sur un intervalle I.

f est croissante sur I si : ∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂)

f est décroissante sur I si : ∀ x₁, x₂ ∈ I, x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)

f est constante sur I si f(x₁) = f(x₂) pour tous x₁, x₂ ∈ I

Extremums

Maximum de f sur I : M = f(a) tel que f(x) ≤ M pour tout x ∈ I

Minimum de f sur I : m = f(b) tel que f(x) ≥ m pour tout x ∈ I

Tableau de variation

Le tableau de variation résume le sens de variation d'une fonction. Il indique :

• Les intervalles sur lesquels f est croissante (flèche ↗) ou décroissante (flèche ↘)

• Les valeurs remarquables de f (minimum, maximum)

2. Fonctions usuelles de référence

Fonction valeur absolue : f(x) = |x|

• Df = ℝ • f est paire (symétrique par rapport à Oy)

• Décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[

• Minimum = 0 atteint en x = 0

Fonction carré : f(x) = x²

• Df = ℝ • f est paire

• Décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[

• Minimum = 0 en x = 0 ; pas de maximum

Fonction inverse : f(x) = 1/x

• Df = ℝ* = ℝ \ {0} • f est impaire

• Décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[ (mais pas sur ℝ* !)

• Asymptotes : Ox (horizontale) et Oy (verticale)

Fonction racine carrée : f(x) = √x

• Df = [0;+∞[ • Croissante sur [0;+∞[

• f(0) = 0 (minimum) ; pas de maximum

Fonction cube : f(x) = x³

• Df = ℝ • f est impaire

• Strictement croissante sur ℝ entier

• Pas d'extremum

Fonction	Domaine	Parité	Variation	Extremum
\|x\|	ℝ	Paire	↘ sur ℝ⁻, ↗ sur ℝ⁺	min = 0 en 0
x²	ℝ	Paire	↘ sur ℝ⁻, ↗ sur ℝ⁺	min = 0 en 0
1/x	ℝ*	Impaire	↘ sur chaque intervalle	aucun
√x	[0;+∞[	—	↗ sur [0;+∞[	min = 0 en 0
x³	ℝ	Impaire	↗ sur ℝ	aucun

3. Composées de fonctions usuelles avec une fonction linéaire

Transformations graphiques

Si on connaît la courbe de f, on obtient :

• f(x − a) : translation horizontale de +a (vers la droite si a > 0)

• f(x) + b : translation verticale de +b (vers le haut si b > 0)

• f(ax) : compression/dilatation horizontale

• a·f(x) : dilatation verticale

Exemples de transformations

• g(x) = (x−2)² : parabole de f(x)=x² décalée de 2 vers la droite. Minimum en x=2.

• h(x) = x² + 3 : parabole de f(x)=x² décalée de 3 vers le haut. Minimum = 3.

• k(x) = (x+1)² − 4 : minimum en x=−1, valant −4.

• p(x) = 1/(x+2) : courbe de 1/x décalée de 2 vers la gauche. Asymptote verticale : x=−2.

4. Fonctions définies par intervalles

Définition et exemple

Une fonction peut être définie par des expressions différentes sur des intervalles différents :

f(x) = { -x si x < 0 { x² - 1 si 0 \leq x \leq 2 { 3 si x > 2

Pour tracer sa courbe, on trace chaque morceau sur son intervalle.

🧠 À retenir absolument

Croissante : x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂) ; Décroissante : x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂)
x² et |x| : min = 0 en x=0 ; paires ; décroissantes sur ℝ⁻, croissantes sur ℝ⁺
1/x : impaire, décroissante sur chaque demi-axe, asymptotes Ox et Oy
√x : croissante sur [0;+∞[ ; x³ : croissante sur ℝ
f(x−a) : décalage de a vers la droite ; f(x)+b : décalage de b vers le haut

Lecture d'un tableau de variation

● Facile

On donne le tableau de variation d'une fonction f :

x | -\infty -2 1 +\infty f(x) | ↗ 3 ↘ -1 ↗

Sur quel(s) intervalle(s) f est-elle croissante ?
Quel est le maximum de f ? En quel point est-il atteint ?
Quel est le minimum de f ? En quel point est-il atteint ?
Combien de solutions a l'équation f(x) = 0 ? (Justifier graphiquement)

✅ Correction

f est croissante sur ]−∞;−2] et sur [1;+∞[.
Maximum = 3, atteint en x = −2.
Minimum = −1, atteint en x = 1.
f passe de −∞ à 3 (en croissant), elle coupe 0 une fois sur ]−∞;−2]. Puis de 3 à −1 (en décroissant), elle coupe 0 une fois sur ]−2;1]. Sur [1;+∞[, f part de −1 et croît, donc coupe 0 une fois. Total : 3 solutions.

Fonctions usuelles — Variation et extremums

● Facile

Pour chaque fonction, donner le sens de variation et les extremums éventuels :

f(x) = −x² + 4
g(x) = |x − 3|
h(x) = √(x + 1)
k(x) = −1/x

✅ Correction

f(x) = −x²+4 = −(x²−4). Opposée de x². Croissante sur ]−∞;0], décroissante sur [0;+∞[. Maximum = 4 en x=0. Pas de minimum.
g(x) = |x−3| : valeur absolue décalée de 3. Décroissante sur ]−∞;3], croissante sur [3;+∞[. Minimum = 0 en x=3.
h(x) = √(x+1), Dh = [−1;+∞[. Croissante sur [−1;+∞[. Minimum = 0 en x=−1. Pas de maximum.
k(x) = −1/x = −(1/x). Opposée de 1/x. Croissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[. Asymptotes : Ox et Oy. Pas d'extremum.

Transformations graphiques

● Moyen

En utilisant les transformations de la courbe de f(x) = x², décrire et situer les courbes de :

g(x) = (x − 3)²
h(x) = x² − 5
k(x) = (x + 2)² + 1
p(x) = −(x − 1)² + 4

Pour chacune, donner le sommet (minimum ou maximum) et l'axe de symétrie.

✅ Correction

g(x)=(x−3)² : translation de 3 vers la droite. Sommet (3;0), axe x=3, min=0.
h(x)=x²−5 : translation de 5 vers le bas. Sommet (0;−5), axe x=0, min=−5.
k(x)=(x+2)²+1 : décalage de 2 vers la gauche et 1 vers le haut. Sommet (−2;1), axe x=−2, min=1.
p(x)=−(x−1)²+4 : parabole retournée (−), sommet en haut. Sommet (1;4), axe x=1, max=4. Décroissante sur [1;+∞[, croissante sur ]−∞;1].

Fonction définie par intervalles

● Moyen

Soit f définie par : f(x) = x+2 si x < 0, f(x) = x² si 0 ≤ x ≤ 2, f(x) = 4 si x > 2.

Calculer f(−3), f(0), f(1), f(2), f(5).
La fonction est-elle continue en x=0 ? (Comparer les valeurs à gauche et à droite)
La fonction est-elle continue en x=2 ?
Donner le tableau de variation de f sur ℝ.

✅ Correction

f(−3)=−3+2=−1 ; f(0)=0²=0 ; f(1)=1 ; f(2)=4 ; f(5)=4
À gauche de 0 (x→0⁻) : x+2 → 2. À droite (x→0⁺) : x² → 0. 2≠0 : f n'est pas continue en x=0.
À gauche de 2 : x²→4. À droite : f=4. Limites égales et f(2)=4. f est continue en x=2.
Sur ]−∞;0[ : f(x)=x+2 croissante. Sur [0;2] : f(x)=x² croissante. Sur ]2;+∞[ : f=4 constante. f est globalement croissante sur ]−∞;2], puis constante sur [2;+∞[.

Problème — Comparaison de fonctions

● Difficile

On considère f(x) = x² et g(x) = 2x sur l'intervalle [0 ; 3].

Calculer f(0), f(1), f(2), f(3) et g(0), g(1), g(2), g(3).
Résoudre f(x) = g(x) sur [0;3]. Quand les deux courbes se croisent-elles ?
Sur quel intervalle a-t-on f(x) < g(x) ? (La parabole est-elle en dessous de la droite ?)
Déterminer sur [0;3] la valeur de x pour laquelle g(x) − f(x) est maximale.

✅ Correction

f : 0, 1, 4, 9. g : 0, 2, 4, 6.
x²=2x ⟺ x²−2x=0 ⟺ x(x−2)=0. x=0 et x=2.
h(x)=2x−x²=x(2−x). Pour 0<x<2 : x>0 et 2−x>0, donc h(x)>0, soit g(x)>f(x). Sur ]0;2[, la parabole est en dessous de la droite.
h(x)=2x−x². h'(x)=2−2x=0 ⟺ x=1. h(1)=2−1=1. Maximum de l'écart = 1, atteint en x=1.

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues

Question 1 / 10

Sur un tableau de variation, une flèche ↗ signifie que f est :

Question 2 / 10

La fonction f(x) = x² admet un minimum égal à :

Question 3 / 10

f(x) = 1/x est :

Question 4 / 10

La courbe de g(x) = (x−2)² est :

Question 5 / 10

Le minimum de f(x) = |x + 5| est :

Question 6 / 10

f(x) = √x est définie et croissante sur :

Question 7 / 10

f(x) = x² + 3 : le minimum de f est :

Question 8 / 10

Sur quel intervalle f(x) = x³ est-elle croissante ?

Question 9 / 10

f(x)=−x²+4 admet un :

Question 10 / 10

La courbe de h(x) = x² − 2 est la parabole de x² :