Objectif Général 3 — Utiliser les représentations graphiques pour résoudre équations et inéquations ; introduction à l'interpolation linéaire.
Résoudre f(x) = k graphiquement revient à trouver les abscisses des points d'intersection de la courbe de f avec la droite horizontale y = k.
Pour résoudre x² − 1 = 3 :
On trace la parabole y = x²−1 et la droite y = 3.
Les points d'intersection ont pour abscisses les solutions : x = 2 et x = −2.
Les solutions de f(x) = g(x) sont les abscisses des points d'intersection des courbes de f et de g.
Résoudre x² = x + 2 graphiquement :
On trace la parabole y=x² et la droite y=x+2.
L'intersection donne x=2 et x=−1 (vérifiable algébriquement : x²−x−2=0, racines 2 et −1).
Le système { a₁x + b₁y = c₁ et { a₂x + b₂y = c₂ correspond aux équations de deux droites.
La solution est le point d'intersection des deux droites (si elles ne sont pas parallèles).
• Un point d'intersection : système compatible, une solution unique
• Droites parallèles : système incompatible, aucune solution
• Droites confondues : système indéterminé, infinité de solutions
• f(x) < k : chercher les x pour lesquels la courbe est en dessous de y = k
• f(x) > g(x) : chercher les x pour lesquels la courbe de f est au-dessus de celle de g
Résoudre graphiquement x² < 4 :
On cherche où la parabole y=x² est sous la droite y=4.
Les intersections sont en x=−2 et x=2. La parabole est sous la droite entre ces valeurs.
Solution : ]−2 ; 2[
L'interpolation linéaire consiste à approcher une fonction inconnue par une fonction linéaire (droite) sur un petit intervalle [a ; b], en utilisant seulement les valeurs f(a) et f(b).
La valeur approchée de f(x) pour a ≤ x ≤ b est :
f(x) ≈ f(a) + (f(b) − f(a)) × (x − a)/(b − a)On sait que f(2) = 5 et f(4) = 9. Estimer f(3) par interpolation linéaire :
f(3) ≈ 5 + (9−5) × (3−2)/(4−2) = 5 + 4 × 1/2 = 5 + 2 = 7
(la droite joignant (2;5) et (4;9) passe par (3;7))
L'interpolation linéaire est utilisée pour lire des valeurs intermédiaires dans des tables numériques (tables de logarithmes, tables de conversion, etc.).
À partir du tableau de valeurs de f(x) = x² − 3x :
| x | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 4 | 0 | −2 | −2 | 0 | 4 |
Résoudre graphiquement (puis vérifier algébriquement) le système :
{ y = x + 1
{ y = −x + 5
En utilisant les courbes de f(x) = x² et g(x) = x + 2 :
Une table indique : f(1) = 3,2 et f(2) = 5,8.
On considère f(x) = x² − 4 et g(x) = 2x − 1.
10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate
Résoudre graphiquement f(x)=k revient à :
Graphiquement, f(x)=g(x) se résout en :
Un système linéaire 2×2 est représenté graphiquement par :
Si f(x) < g(x) graphiquement, cela correspond à :
La formule d'interpolation linéaire entre (a;f(a)) et (b;f(b)) pour trouver f(x) est :
Le système { y=2x et { y=−3x+5 a pour solution graphique :
Graphiquement, x² < 9 correspond à :
f(1)=2 et f(3)=6. Par interpolation linéaire, f(2) ≈ :
Deux droites parallèles représentent un système :
Si la courbe de f est au-dessus de y=3 pour x∈]1;5[, cela signifie :