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Ch. 12 Mathématiques · 2nde C

Relations métriques dans le triangle

Objectif Général 4 — Théorème de Pythagore, théorème des sinus, loi des cosinus (Al-Kashi), aire d'un triangle.

1. Trigonométrie dans le triangle rectangle

Définitions dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle en A, pour l'angle aigu B :

• cos B = côté adjacent / hypoténuse = BA/BC

• sin B = côté opposé / hypoténuse = AC/BC

• tan B = côté opposé / côté adjacent = AC/BA

Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle en A : BC² = AB² + AC²

Réciproque : si BC² = AB² + AC², alors le triangle est rectangle en A.

2. Théorème des sinus

Énoncé

Dans tout triangle ABC, si R est le rayon du cercle circonscrit :

a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

où a = BC, b = CA, c = AB et A, B, C sont les angles opposés.

Application

Dans un triangle ABC, a = 8, A = 60°, B = 45°. Trouver b.

C = 180° − 60° − 45° = 75°. a/sin A = b/sin B → b = a × sin B / sin A = 8 × sin 45° / sin 60° = 8 × (√2/2)/(√3/2) = 8√2/√3 = 8√6/3

3. Théorème d'Al-Kashi (loi des cosinus)

Énoncé

Dans tout triangle ABC avec a = BC, b = CA, c = AB :

a² = b² + c² − 2bc·cos A b² = a² + c² − 2ac·cos B c² = a² + b² − 2ab·cos C

Cas particulier : si A = 90°, cos A = 0 et on retrouve Pythagore : a² = b² + c².

Application — Calculer un côté

a = 5, b = 7, C = 60°. Calculer c.

c² = a² + b² − 2ab·cos C = 25 + 49 − 2×5×7×(1/2) = 74 − 35 = 39. c = √39.

Application — Calculer un angle

a = 4, b = 5, c = 6. Calculer l'angle A.

cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (25 + 36 − 16)/(2×5×6) = 45/60 = 3/4. A = arccos(3/4) ≈ 41,4°.

4. Aire d'un triangle

Formules

• Formule de base : Aire = (1/2) × base × hauteur

• Avec deux côtés et l'angle compris : Aire = (1/2) × b × c × sin A

• Formule de Héron (avec s = (a+b+c)/2 le demi-périmètre) :

Aire = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]

Exemple

b = 6, c = 8, A = 30°. Aire = (1/2) × 6 × 8 × sin 30° = (1/2) × 6 × 8 × (1/2) = 12 cm²

🧠 À retenir absolument

  • Pythagore : a² = b² + c² dans le triangle rectangle en A (a = hypoténuse)
  • Sinus : a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R
  • Al-Kashi : a² = b² + c² − 2bc·cos A (généralise Pythagore)
  • Aire = (1/2)bc·sin A
  • Al-Kashi → angle : cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
1

Théorème de Pythagore

● Facile
  1. Un triangle rectangle a des jambes de 5 cm et 12 cm. Calculer l'hypoténuse.
  2. Un triangle a les côtés 9, 40 et 41. Est-il rectangle ?
  3. Un triangle a les côtés 7, 24 et 26. Est-il rectangle ?
✅ Correction
  1. c² = 25 + 144 = 169. c = 13 cm.
  2. 41² = 1681. 9² + 40² = 81 + 1600 = 1681 ✅. Oui, rectangle (hypoténuse 41).
  3. 26² = 676. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 ≠ 676. Non, pas rectangle.
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Théorème des sinus

● Moyen

Dans un triangle ABC, on donne a = 10 cm, A = 45°, B = 60°.

  1. Calculer l'angle C.
  2. Calculer les côtés b et c par le théorème des sinus.
  3. Calculer le rayon R du cercle circonscrit.
✅ Correction
  1. C = 180° − 45° − 60° = 75°.
  2. 2R = a/sin A = 10/sin 45° = 10/(√2/2) = 10√2. b = 2R × sin B = 10√2 × (√3/2) = 5√6 ≈ 12,25 cm. c = 2R × sin C = 10√2 × sin 75° ≈ 10√2 × 0,966 ≈ 13,66 cm.
  3. 2R = 10√2, donc R = 5√2 ≈ 7,07 cm.
3

Théorème d'Al-Kashi — Calculer un côté

● Moyen
  1. Dans un triangle ABC, b = 7, c = 9, A = 60°. Calculer a.
  2. Dans un triangle, a = 5, b = 8, C = 90°. Calculer c et vérifier.
✅ Correction
  1. a² = b² + c² − 2bc cos A = 49 + 81 − 2×7×9×(1/2) = 130 − 63 = 67. a = √67 ≈ 8,19 cm.
  2. cos 90° = 0 donc c² = a² + b² = 25 + 64 = 89. c = √89 ≈ 9,43 cm. (On retrouve Pythagore ✅)
4

Al-Kashi — Calculer un angle

● Moyen

Dans un triangle ABC, a = 8, b = 6, c = 7.

  1. Calculer cos A.
  2. En déduire la valeur approchée de A en degrés.
  3. Calculer l'aire du triangle.
✅ Correction
  1. cos A = (b² + c² − a²)/(2bc) = (36 + 49 − 64)/(2×6×7) = 21/84 = 1/4.
  2. A = arccos(1/4) ≈ 75,5°.
  3. Aire = (1/2)bc sin A = (1/2)×6×7×sin 75,5° ≈ 21 × 0,968 ≈ 20,3 cm². Ou : sin A = √(1−1/16) = √(15/16) = √15/4. Aire = (1/2)×6×7×(√15/4) = 21√15/4 ≈ 20,3 cm².
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Problème — Topographie

● Difficile

Deux observateurs A et B sont distants de 500 m. Ils observent un objet C. L'angle CAB = 70° et l'angle CBA = 50°.

  1. Calculer l'angle ACB.
  2. Calculer la distance AC par le théorème des sinus.
  3. Calculer la distance BC.
  4. Calculer l'aire du triangle ABC.
✅ Correction
  1. ACB = 180° − 70° − 50° = 60°.
  2. AB/sin C = AC/sin B → AC = AB × sin B / sin C = 500 × sin 50°/sin 60° ≈ 500 × 0,766/0,866 ≈ 442 m.
  3. BC = AB × sin A / sin C = 500 × sin 70°/sin 60° ≈ 500 × 0,940/0,866 ≈ 543 m.
  4. Aire = (1/2)×AB×AC×sin A = (1/2)×500×442×sin 70° ≈ (1/2)×500×442×0,940 ≈ 103 870 m².

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

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0/10Répondues
Question 1 / 10

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :

Question 2 / 10

Le théorème d'Al-Kashi pour calculer a² est :

Question 3 / 10

L'aire d'un triangle avec b=5, c=8 et A=30° vaut :

Question 4 / 10

Le théorème des sinus énonce que :

Question 5 / 10

Un triangle a les côtés 3, 4, 5. Il est :

Question 6 / 10

cos A = (b²+c²−a²)/(2bc) sert à :

Question 7 / 10

Dans un triangle ABC, A=90°, AB=6, AC=8. BC vaut :

Question 8 / 10

Le rayon du cercle circonscrit R vérifie :

Question 9 / 10

Al-Kashi avec C=90° donne :

Question 10 / 10

Deux angles d'un triangle valent 40° et 80°. Le troisième vaut :