Ch. 13 Mathématiques · 2nde C

Applications ponctuelles du plan

Objectif Général 4 — Translation, symétries, homothétie, rotation : définitions, propriétés et expressions analytiques.

1. Translation

Définition

La translation de vecteur →u associe à tout point M le point M' tel que MM'→ = →u.

Si →u = (a ; b) et M = (x ; y), alors M' = (x+a ; y+b).

Propriétés

• Une translation conserve les distances, les angles et les aires.

• La composée de deux translations de vecteurs →u et →v est la translation de vecteur →u + →v.

• L'image d'une droite est une droite parallèle.

2. Symétrie centrale

Définition

La symétrie centrale de centre O associe à tout point M le point M' tel que O est le milieu de [MM'] : OM'→ = −OM→.

Si O = (a ; b) et M = (x ; y), alors M' = (2a−x ; 2b−y).

Propriétés

• La symétrie centrale est une isométrie (conserve les distances).

• L'image d'une droite est une droite parallèle (sauf si elle passe par O).

• La composée de deux symétries centrales de centres O et O' est la translation de vecteur 2OO'→.

3. Symétrie orthogonale (axiale)

Définition

La symétrie orthogonale d'axe (Δ) associe à tout point M le point M' tel que (Δ) est la médiatrice de [MM'] : M et M' sont à égale distance de (Δ) et [MM'] est perpendiculaire à (Δ).

Cas particuliers importants

• Axe Ox (abscisses) : (x ; y) → (x ; −y)

• Axe Oy (ordonnées) : (x ; y) → (−x ; y)

• Axe y = x : (x ; y) → (y ; x)

La composée de deux symétries orthogonales d'axes parallèles est une translation.

La composée de deux symétries orthogonales d'axes sécants est une rotation.

4. Homothétie

Définition

L'homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) associe à tout point M le point M' tel que OM'→ = k·OM→.

Si O = (0;0), M = (x;y), alors M' = (kx ; ky).

Propriétés

• Si k > 0 : M' est du même côté que M par rapport à O.

• Si k < 0 : M' est de l'autre côté (homothétie = symétrie + mise à l'échelle).

• k = −1 : l'homothétie est une symétrie centrale de centre O.

• L'image d'une figure est une figure semblable de rapport |k|.

• Une droite passant par O est invariante par l'homothétie.

5. Rotation

Définition

La rotation de centre O et d'angle θ fait tourner chaque point M de l'angle θ autour de O.

||OM|| = ||OM'|| (conservation des distances au centre).

Formules en coordonnées (centre O)

x' = x cos θ - y sin θ y' = x sin θ + y cos θ

Cas particuliers : rotation de 90° : (x;y) → (−y;x). Rotation de 180° : (x;y) → (−x;−y).

🧠 À retenir absolument

Translation →u = (a;b) : M(x;y) → M'(x+a ; y+b)
Symétrie centrale (O) : M → M' tel que O = milieu de MM'. M'=(2a−x ; 2b−y) si O=(a;b)
Symétrie axiale Ox : (x;y)→(x;−y) ; Oy : (x;y)→(−x;y)
Homothétie (O,k) : OM'→ = k·OM→ ; rapport k, image semblable
Rotation 90° : (x;y)→(−y;x) ; Rotation 180° : (x;y)→(−x;−y)

Translation

● Facile

Soit la translation de vecteur →u = (3 ; −2).

Calculer l'image de A(1 ; 4).
Calculer l'image de B(−2 ; 0).
Quel point a pour image C(5 ; 1) par cette translation ?

✅ Correction

A' = (1+3 ; 4−2) = (4 ; 2)
B' = (−2+3 ; 0−2) = (1 ; −2)
M' = M + →u, donc M = M' − →u = (5−3 ; 1+2) = (2 ; 3)

Symétries

● Facile

Calculer les images des points A(3 ; 5) et B(−1 ; 4) par :

La symétrie centrale de centre O(0 ; 0)
La symétrie d'axe Ox
La symétrie d'axe Oy
La symétrie centrale de centre I(2 ; 1)

✅ Correction

Symétrie centrale O : A'=(−3;−5), B'=(1;−4).
Axe Ox : A'=(3;−5), B'=(−1;−4).
Axe Oy : A'=(−3;5), B'=(1;4).
Centre I(2;1) : A' = (2×2−3 ; 2×1−5) = (1;−3). B' = (2×2−(−1) ; 2×1−4) = (5;−2).

Homothétie

● Moyen

Homothétie de centre O(0;0) et rapport k=3. Trouver l'image de A(2;−1) et B(−1;4).
Homothétie de centre O et rapport k=−2. Trouver l'image de C(1;3).
Si A'(6;9) est l'image de A(2;3) par une homothétie de centre O(0;0), quel est le rapport ?

✅ Correction

k=3 : A'=(6;−3), B'=(−3;12).
k=−2 : C'=(−2;−6).
OA' = (6;9) = k×OA = k×(2;3). Donc k = 6/2 = 3.

Rotation

● Moyen

Calculer l'image de A(4 ; 0) par la rotation de centre O et d'angle 90°.
Calculer l'image de B(3 ; 2) par la rotation de centre O et d'angle 180°.
Calculer l'image de C(1 ; 1) par la rotation de centre O et d'angle 90°.

✅ Correction

Rotation 90° : (x;y)→(−y;x). A(4;0) → A'(0;4). Vérif : ||OA||=4=||OA'|| ✅
Rotation 180° : (x;y)→(−x;−y). B(3;2) → B'(−3;−2).
Rotation 90° : C(1;1) → C'(−1;1). ||OC||=√2=||OC'|| ✅

Problème — Composition de transformations

● Difficile

Soit A(2 ; 1). On applique successivement la symétrie centrale de centre O(0;0), puis la translation de vecteur →u = (4 ; 3).

Trouver A₁, image de A par la symétrie centrale.
Trouver A₂, image de A₁ par la translation.
Quelle transformation unique envoie directement A sur A₂ ? Donner son vecteur.
Vérifier que la composée des deux transformations est bien la translation trouvée.

✅ Correction

Sym. centrale O : A(2;1) → A₁(−2;−1).
Translation →u=(4;3) : A₁(−2;−1) → A₂(−2+4;−1+3) = A₂(2;2).
AA₂→ = (2−2;2−1) = (0;1). La transformation directe est la translation de vecteur (0;1).
La symétrie centrale envoie M(x;y) sur (−x;−y), puis la translation ajoute (4;3). Résultat : (−x+4;−y+3). Ce n'est pas une translation simple (dépend de M). En fait la composée est une symétrie centrale de centre (2;3/2), pas une translation.

QCM — Auto-évaluation

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0/10Répondues

Question 1 / 10

La translation de vecteur (2;−3) envoie A(1;4) sur :

Question 2 / 10

La symétrie centrale de centre O(0;0) envoie M(3;−5) sur :

Question 3 / 10

La symétrie d'axe Oy envoie A(4;−2) sur :

Question 4 / 10

L'homothétie de centre O et rapport k=2 envoie A(3;1) sur :

Question 5 / 10

La rotation de 90° (centre O) envoie M(x;y) sur :

Question 6 / 10

La composée de deux translations de vecteurs →u et →v est :

Question 7 / 10

L'homothétie de rapport k=−1 et centre O est :

Question 8 / 10

La symétrie d'axe Ox envoie B(−2;5) sur :

Question 9 / 10

La rotation de 180° (centre O) envoie M(a;b) sur :

Question 10 / 10

Une homothétie de rapport |k|>1 produit :