Ch. 15 Mathématiques · 2nde C

Mesures et calculs géométriques

Objectif Général 5 — Distance, distance d'un point à une droite, aires, périmètres, volumes.

1. Distance de deux points

Formule

La distance entre A(xA;yA) et B(xB;yB) est :

d(A,B) = ||AB→|| = √[(xB−xA)² + (yB−yA)²]

Distance d'un point à une droite

La distance du point M(x₀;y₀) à la droite (Δ) d'équation ax+by+c=0 est :

d(M,Δ) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a²+b²)

Exemple

Distance de M(1;2) à la droite 3x+4y−5=0 :

d = |3×1+4×2−5|/√(9+16) = |3+8−5|/5 = 6/5 = 1,2

2. Produit scalaire et applications

Identités remarquables vectorielles

• (→u + →v)² = ||→u||² + 2→u·→v + ||→v||²

• (→u − →v)² = ||→u||² − 2→u·→v + ||→v||²

• (→u + →v)·(→u − →v) = ||→u||² − ||→v||²

Théorème de la médiane (Al-Kashi généralisé) : si M est le milieu de [AB] alors :

MA² + MB² = 2(MM'² + AM²)... ou plus simplement par coordonnées.

3. Aires des surfaces planes

Formules d'aires

• Triangle : A = (base × hauteur)/2 = (1/2)|→AB ∧ →AC|

• Parallélogramme : A = base × hauteur = |→AB ∧ →AD|

• Trapèze : A = (grande base + petite base)/2 × hauteur

• Cercle de rayon r : A = πr²

• Disque de rayon r : A = πr² (même chose)

• Secteur angulaire : A = (θ/2π) × πr² = θr²/2 (θ en radians)

Aire par le déterminant

Aire du triangle OAB avec A=(3;1) et B=(1;4) :

Aire = (1/2)|3×4 − 1×1| = (1/2)|12−1| = 11/2 = 5,5

4. Périmètres et longueurs

Formules

• Polygone : périmètre = somme des longueurs des côtés

• Cercle de rayon r : périmètre = 2πr

• Arc de cercle d'angle θ (radians) : longueur = r×θ

• Conversion : θ(rad) = θ(degrés) × π/180

Somme des angles d'un polygone convexe

Polygone convexe à n côtés : somme des angles intérieurs = (n−2) × 180°

Nombre de diagonales d'un polygone à n côtés : n(n−3)/2

🧠 À retenir absolument

d(A,B) = √[(xB−xA)²+(yB−yA)²]
d(M,Δ) = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) pour la droite ax+by+c=0
Aire triangle = (1/2)×base×hauteur = (1/2)|det(AB,AC)|
Périmètre cercle = 2πr ; Aire disque = πr²
Somme angles d'un n-gone = (n−2)×180°
Nombre de diagonales = n(n−3)/2

Distances entre points

● Facile

Calculer d(A,B) avec A(1;2) et B(4;6).
Calculer d(P,Q) avec P(−3;1) et Q(2;−11).
Vérifier que le triangle A(0;0), B(4;0), C(2;2√3) est équilatéral.

✅ Correction

d(A,B) = √((4−1)²+(6−2)²) = √(9+16) = √25 = 5
d(P,Q) = √((2−(−3))²+(−11−1)²) = √(25+144) = √169 = 13
AB = 4. AC = √((2−0)²+(2√3)²) = √(4+12) = 4. BC = √((2−4)²+(2√3)²) = √(4+12) = 4. AB=AC=BC=4 : équilatéral ✅

Distance d'un point à une droite

● Moyen

Distance de M(2;3) à la droite d'équation 4x−3y+1=0.
Distance de N(0;0) à la droite x+y−6=0.
Trouver les points de l'axe des abscisses situés à distance 2 de la droite 3x+4y−10=0.

✅ Correction

d = |4×2−3×3+1|/√(16+9) = |8−9+1|/5 = 0/5 = 0. M est sur la droite !
d = |0+0−6|/√(1+1) = 6/√2 = 3√2 ≈ 4,24
Sur l'axe Ox : N=(x;0). d(N,Δ) = |3x−10|/5 = 2 → |3x−10| = 10 → 3x−10=10 (x=20/3) ou 3x−10=−10 (x=0). Points : (20/3;0) et (0;0).

Aires de surfaces

● Moyen

Calculer l'aire du triangle A(0;0), B(5;0), C(3;4) par la formule du déterminant.
Calculer l'aire d'un secteur angulaire de rayon 6 cm et d'angle 60°.
Un trapèze a des bases de 8 et 5 cm, et une hauteur de 4 cm. Quelle est son aire ?

✅ Correction

AB→=(5;0), AC→=(3;4). Aire = (1/2)|5×4−0×3| = (1/2)|20| = 10 cm²
θ = 60° = π/3 rad. Aire = θr²/2 = (π/3)×36/2 = 6π ≈ 18,85 cm²
Aire = (8+5)/2 × 4 = 13/2 × 4 = 26 cm²

Périmètres et angles de polygones

● Moyen

Calculer le périmètre d'un cercle de rayon 7 cm.
Un octogone régulier a un côté de 5 cm. Calculer son périmètre et la somme de ses angles intérieurs.
Combien de diagonales a un décagone (n=10) ?

✅ Correction

P = 2πr = 2π×7 = 14π ≈ 44 cm
Périmètre = 8×5 = 40 cm. Somme angles = (8−2)×180° = 6×180° = 1080°.
n(n−3)/2 = 10×7/2 = 35 diagonales.

Problème — Géométrie analytique

● Difficile

Soit le triangle A(0;0), B(8;0), C(4;6).

Calculer les longueurs des trois côtés.
Calculer l'aire par le déterminant.
En déduire la longueur de la hauteur issue de C (hauteur relative à AB).
Calculer la distance de C à la droite AB (vérifier avec la formule).

✅ Correction

AB=8 ; AC=√(16+36)=√52=2√13≈7,21 ; BC=√(16+36)=2√13≈7,21. Triangle isocèle.
AB→=(8;0), AC→=(4;6). Aire=(1/2)|8×6−0×4|=(1/2)×48=24 cm².
Aire=(1/2)×AB×h → h=2×Aire/AB=2×24/8=6 cm.
Droite AB : y=0, soit 0x+1y+0=0. d(C,AB)=|0×4+1×6+0|/√1=6 ✅

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

La distance entre A(1;2) et B(4;6) est :

Question 2 / 10

La distance de M(3;4) à la droite x+y−1=0 est :

Question 3 / 10

L'aire d'un cercle de rayon 5 est :

Question 4 / 10

La somme des angles intérieurs d'un hexagone est :

Question 5 / 10

Le nombre de diagonales d'un pentagone (n=5) est :

Question 6 / 10

L'aire du triangle de sommets O(0;0), A(4;0), B(0;3) est :

Question 7 / 10

Le périmètre d'un cercle de rayon 3 est :

Question 8 / 10

L'aire d'un secteur de rayon 4 et d'angle π/4 est :

Question 9 / 10

Un trapèze de bases 10 et 6, hauteur 5 a une aire de :

Question 10 / 10

La distance entre A(0;0) et B(3;4) est :