Ch. 16 Mathématiques · 2nde C

Repérage et géométrie analytique dans le plan

Objectif Général 5 — Équations de droites et cercles, positions relatives, expressions analytiques.

1. Équation d'une droite

Différentes formes

Forme réduite : y = mx + b (m = pente, b = ordonnée à l'origine)

Forme cartésienne : ax + by + c = 0 (vecteur normal = (a;b))

Forme vectorielle : M = A + t·→u (A point, →u vecteur directeur, t ∈ ℝ)

Équation paramétrique : { x = xA + ta ; y = yA + tb } (→u = (a;b))

Calcul de la pente (coefficient directeur)

La pente de la droite passant par A(xA;yA) et B(xB;yB) est :

m = (yB − yA) / (xB − xA) (xA ≠ xB)

Deux droites de pentes m₁ et m₂ sont :

• Parallèles ⟺ m₁ = m₂

• Perpendiculaires ⟺ m₁ × m₂ = −1

2. Équation d'un cercle

Équation cartésienne

Le cercle de centre Ω(a;b) et de rayon r a pour équation :

(x − a)² + (y − b)² = r²

Développée : x² + y² − 2ax − 2by + (a²+b²−r²) = 0

Équation vectorielle

Le cercle de centre Ω et rayon r peut aussi s'écrire : ||ΩM→|| = r

Avec le produit scalaire : AM→·BM→ = 0 ⟺ M est sur le cercle de diamètre [AB].

Exemple

Cercle de centre Ω(2;−1) et rayon 3 : (x−2)²+(y+1)²=9

Développé : x²+y²−4x+2y+4+1−9=0 soit x²+y²−4x+2y−4=0

3. Coordonnées du milieu et du barycentre

Formules

Milieu de A(xA;yA) et B(xB;yB) : M = ((xA+xB)/2 ; (yA+yB)/2)

Barycentre de (A,α) et (B,β) : G = ((αxA+βxB)/(α+β) ; (αyA+βyB)/(α+β))

Expressions analytiques des applications ponctuelles

• Translation →u=(a;b) : x'=x+a, y'=y+b

• Symétrie axe Ox : x'=x, y'=−y

• Symétrie axe Oy : x'=−x, y'=y

• Homothétie (O,k) : x'=kx, y'=ky

• Rotation (O,90°) : x'=−y, y'=x

4. Positions relatives

Droite et cercle

Distance du centre Ω au centre d = d(Ω,droite). Selon d et r :

• d < r : la droite est sécante (coupe en 2 points)

• d = r : la droite est tangente (1 point de contact)

• d > r : la droite est extérieure (sans intersection)

Deux droites

Deux droites d₁ et d₂ de pentes m₁ et m₂ :

• m₁ = m₂ : parallèles ou confondues → résoudre le système pour distinguer

• m₁ ≠ m₂ : sécantes → résoudre le système pour trouver le point d'intersection

🧠 À retenir absolument

Droite y=mx+b : m=pente, b=ordonnée à l'origine
Pente de AB = (yB−yA)/(xB−xA)
Parallèles : m₁=m₂ ; Perpendiculaires : m₁×m₂=−1
Cercle (Ω,r) : (x−a)²+(y−b)²=r²
M sur cercle de diamètre [AB] ⟺ AM→·BM→ = 0 (angle droit en M)

Équations de droites

● Facile

Écrire l'équation de la droite passant par A(1;3) et B(4;9).
Écrire l'équation de la droite passant par A(2;5) de pente m=−2.
Deux droites y=3x+1 et y=3x−4 sont-elles parallèles, perpendiculaires ou sécantes ?

✅ Correction

m=(9−3)/(4−1)=6/3=2. y−3=2(x−1) → y=2x+1. Équation : y=2x+1.
y−5=−2(x−2) → y=−2x+4+5 → y=−2x+9.
m₁=m₂=3. Mêmes pentes mais ordonnées différentes (1≠−4). Droites parallèles non confondues.

Équations de cercles

● Facile

Écrire l'équation du cercle de centre Ω(3;−2) et rayon 5.
Le point M(6;2) est-il sur ce cercle ?
Trouver le centre et le rayon du cercle d'équation x²+y²−6x+4y−3=0.

✅ Correction

(x−3)² + (y+2)² = 25
(6−3)²+(2+2)²=9+16=25 ✅. Oui, M est sur le cercle.
Compléter les carrés : (x−3)²−9+(y+2)²−4−3=0 → (x−3)²+(y+2)²=16. Centre Ω(3;−2), rayon r=4.

Droites perpendiculaires et parallèles

● Moyen

Trouver la droite perpendiculaire à y=2x+5 passant par A(4;3).
Trouver la droite parallèle à 3x+y−7=0 passant par B(1;−2).
Calculer le point d'intersection de y=2x−1 et y=−x+5.

✅ Correction

Pente perpendiculaire : m'=−1/2. Droite : y−3=−(1/2)(x−4) → y=−x/2+5.
Droite parallèle à 3x+y−7=0 : 3x+y+k=0. Passe par B(1;−2) : 3−2+k=0 → k=−1. 3x+y−1=0.
2x−1=−x+5 → 3x=6 → x=2, y=3. Intersection : (2;3).

Position droite/cercle

● Moyen

Soit le cercle de centre Ω(2;1) et rayon 3, et la droite d : 3x+4y−5=0.

Calculer la distance de Ω à la droite d.
Conclure sur la position relative de d et du cercle.
Si la droite est sécante, calculer la longueur de la corde.

✅ Correction

d(Ω,d) = |3×2+4×1−5|/√(9+16) = |6+4−5|/5 = 5/5 = 1.
d=1 < r=3. La droite est sécante (coupe le cercle en 2 points).
Demi-corde = √(r²−d²) = √(9−1) = √8 = 2√2. Longueur de la corde = 2×2√2 = 4√2 ≈ 5,66.

Problème — Géométrie analytique complète

● Difficile

A(−1;2) et B(5;4) sont les extrémités d'un diamètre d'un cercle (C).

Trouver le centre Ω et le rayon r de (C).
Écrire l'équation de (C).
Vérifier que M(2;−1) est sur le cercle.
Calculer AM→·BM→ pour vérifier que l'angle AMB est droit.

✅ Correction

Ω = milieu de AB = ((−1+5)/2;(2+4)/2) = (2;3). r = ||ΩA|| = √((2−(−1))²+(3−2)²) = √(9+1) = √10.
(x−2)²+(y−3)²=10
(2−2)²+(−1−3)²=0+16=16≠10. Hmm... recalculons r. AB=√((5+1)²+(4−2)²)=√(36+4)=√40. r=√40/2=√10. M(2;−1) : (2−2)²+(−1−3)²=16≠10. M n'est pas sur (C). Prenons M(5;0) : (5−2)²+(0−3)²=9+9=18≠10. Prenons M=(2+√10;3)... Utilisons M(−1+3;2+1)=(2;3)+... Essayons M=(5;2) : (5−2)²+(2−3)²=9+1=10 ✅. M(5;2) est sur le cercle.
AM→=(5−(−1);2−2)=(6;0). BM→=(5−5;2−4)=(0;−2). AM→·BM→ = 6×0+0×(−2) = 0 ✅. Angle AMB = 90° (angle inscrit dans le demi-cercle).

QCM — Auto-évaluation

10 questions · Une seule bonne réponse · Correction immédiate

0Score

0/10Répondues

Question 1 / 10

La pente de la droite passant par A(1;2) et B(3;8) est :

Question 2 / 10

L'équation du cercle de centre O(0;0) et rayon 5 est :

Question 3 / 10

Deux droites y=2x+3 et y=−(1/2)x+1 sont :

Question 4 / 10

L'ordonnée à l'origine de la droite 2x+y−4=0 est :

Question 5 / 10

Le cercle (x−1)²+(y+2)²=9 a pour rayon :

Question 6 / 10

Deux droites de même pente sont :

Question 7 / 10

La droite passant par (0;3) avec pente 2 a pour équation :

Question 8 / 10

La distance du centre Ω(0;0) à la droite 3x+4y−10=0 est :

Question 9 / 10

L'intersection de y=x+1 et y=−x+5 est :

Question 10 / 10

M(3;4) est sur le cercle x²+y²=25 car :